• Matéria: Matemática
  • Autor: jm89245634
  • Perguntado 6 anos atrás

Na figura, o ponto P(4,12/5) pertence à elipse de focos F1 (-3,0) e F2 (3,0) . Dar a equação reduzida da elipse.​

Anexos:

Respostas

respondido por: Nefertitii
2

De acordo com a definição de elipse, temos que:

  • Definição: Fixados F1 e F2, o conjunto dos pontos P tais que PF1 + PF2 = 2a é denominado elipse.

Essa definição diz que a distância de um ponto "P" até O foco 1 somado com a distância desse mesmo ponto "P" ao foco 2 é igual a 2a (é uma constante). Sabendo disso, vamos calcular a distância entre o ponto P e F1 e P e F2, depois somar as duas distâncias e igualar a constante (2a). Para calcular essa tal distância usaremos a famosa fórmula da distância entre dois pontos.

  • Distância P à F1:

 \sf \begin{cases} \sf P(4, \frac{12}{5} ) \rightarrow x_a =4 \:  \:  \:  \:  x_b =  \frac{12}{5}  \\  \\  \sf F _ 1( - 3,0) \rightarrow f_a =  - 3 \:  \:  \: f_b = 0 \: \end{cases} \\  \\  \sf D_{p,f_1} =  \sqrt{(x_b - f_b) {}^{2} + (x_a - f_a) {}^{2} }  \\ \sf D_{p,f_1} =  \sqrt{ (\frac{12}{5}  - 0) {}^{2}  + (4 - ( - 3))  {}^{2} }  \\  \sf D_{p,f_1} =  \sqrt{( \frac{12}{5}) {}^{2}  + (4 + 3) {}^{2}  }  \\  \sf D_{p,f_1} =  \sqrt{ \frac{144}{25} + (7) {}^{2}  }  \\  \sf D_{p,f_1} =  \sqrt{ \frac{144}{25}  + 49}  \\  \sf D_{p,f_1} =  \sqrt{ \frac{144 + 25.49}{25} }  \\  \sf D_{p,f_1} =  \sqrt{ \frac{144 + 1225}{25} }  \\  \sf D_{p,f_1} =  \sqrt{ \frac{1369}{25} }  \\   \boxed{\sf D_{p,f_1} =  \frac{37}{5} \: u.c }

  • Distância P à F2:

\sf \begin{cases} \sf P(4, \frac{12}{5} ) \rightarrow x_a =4 \:  \:  \:  \:  x_b =  \frac{12}{5}  \\  \\  \sf F _ 2( 3,0) \rightarrow f_a =   3 \:  \:  \: f_b = 0 \: \end{cases} \\  \\  \sf D_{p,f_2} =  \sqrt{(x_b - f_b) {}^{2} + (x_a - f_a) {}^{2} } \\  \sf D_{p,f_2} =  \sqrt{( \frac{12}{5}  - 0) {}^{2}  + (4 - 3) {}^{2} } \\  \sf D_{p,f_2} =  \sqrt{( \frac{12}{5} ) {}^{2}  + (1) {}^{2} }  \\  \sf D_{p,f_2} =  \sqrt{ \frac{144}{25}  + 1}  \\  \sf D_{p,f_2} =  \sqrt{ \frac{144 + 25}{25}}  \\  \sf D_{p,f_2} =  \sqrt{ \frac{169}{25} }  \\  \boxed{ \sf D_{p,f_2} =  \frac{13}{5}  \: u.c}

Agora vamos substituir essas distâncias na relação que eu citei acima.

 \boxed{ \sf P_{F_1 }+ P_{F_2} = 2a}  \\  \\   \sf  \frac{37}{5}  +  \frac{13}{5} = 2a  \\   \sf  \frac{50}{5} = 2a  \\   \sf  2a = 10 \\     \sf a =  \frac{10}{2}   \\   \boxed{\sf a = 5}

Pronto, matamos a questão, pois a questão nos dá o valor do foco (c), que é 3 e acabamos de achar o valor de "a", agora é só substituir na relação pitagórica e descobrir o valor de "b":

 \sf a {}^{2}  = b {}^{2}  + c {}^{2}  \\  \sf 5 {}^{2}  = b {}^{2}  + 3 {}^{2} \\  \sf25 = b {}^{2}  +9  \\ \sf 25 - 9 = b {}^{2}  \\  \sf b {}^{2}  = 16 \\  \sf b =  \sqrt{16}  \\   \boxed{\sf b = 4}

Para finalizar a questão pede para montarmos a equação reduzida da elipse, cuidado para não errar na hora de substituir na equação correta. Note que o maior eixo dessa elipse está sobre "x", portanto a equação reduzida dará-se por:

  \boxed{\sf  \frac{x {}^{2} }{a {}^{2} }  +  \frac{y {}^{2} }{b {}^{2} }  = 1}

Substituindo os dados:

  \sf \frac{x {}^{2} }{5 {}^{2} }  +  \frac{y {}^{2} }{4 {}^{2} }  = 1 \\  \\   \boxed{\sf  \frac{x {}^{2} }{25}  +  \frac{y {}^{2} }{16}  = 1}  \sf\leftarrow resposta

Espero ter ajudado

Anexos:

Nefertitii: deu pra entender?
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