Question

Determine o sétimo termo do desenvolvimento do binômio (x^2+1/x)^9, considerando que o primeiro termo é x^18​

Answer 1

Para resolver esse questão, vamos usar o Termo geral do binômio, existem várias outras maneiras, mas essa é a maneira mais eficaz para esse estilo de questão. O termo geral é dado por:

$\boxed{ \sf T_{p + 1} = \binom{n}{p} .C_{n ,p} .a {}^{n - p} .b {}^{p} }$

• "p" → representa a posição;
• "n" → representa o expoente do binômio;
• "a" → representa o primeiro número do binômio;
• "b" → representa o segundo número do binômio.

Sabendo disso, vamos partir para os cálculos.

• A questão pergunta o sétimo termo, portanto temos a posição, então vamos substituir na relação de "p":

$\sf p + 1 = 7 \\ \sf p = 7 - 1 \\ \boxed{\sf p = 6}$

Substituindo os dados no termo geral:

$\sf T_{7} = \binom{9}{6} .(x {}^{2} ) {}^{9 - 6} .( \frac{1}{x} ) {}^{6} \\ \\ \sf T_{7} = \binom{9}{6} .(x {}^{2} ) {}^{3} . \frac{1 {}^{6} }{x {}^{6} } \\ \\ \sf T_{7} = \binom{9}{6} . \cancel{x {}^{6}} . \frac{1}{ \cancel{x {}^{6}} } \\ \\ \sf T_{7} = \binom{9}{6} .1 \\ \\ \sf T_{7} = \frac{9!}{6 !(9 - 6)! } \\ \\ \sf T_{7} = \frac{9.8.7. \cancel{6 !}}{ \cancel{6 !} 3!} \\ \\ \sf T_{7} = \frac{504}{3.2.1} \\ \\ \sf T_{7} = \frac{504}{6} \\ \\ \boxed{\sf T_{7} = 84} \leftarrow$

Além de ser o sétimo termo, ele é o termo independente do binômio.

Espero ter ajudado