Question

Construa o gráfico das funções quadráticas a seguir utilizando os 4 passos apresentados na página 24.
a) f(x)= x²-x-6
b) f(x)= -x²+4x-4
c) y= -x²+7x-6
d) f(x)= -4x²+4x-8​

Answer 1

Explicação:

a) $f(x)=x^2-x-6$

• Raízes da função:

$x^2-x-6=0$

$\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)$

$\Delta=1+24$

$\Delta=25$

$x=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{25}}{2\cdot1}=\dfrac{1\pm5}{2}$

$x'=\dfrac{1+5}{2}~\longrightarrow~x'=\dfrac{6}{2}~\longrightarrow~x'=3$

$x"=\dfrac{1-5}{2}~\longrightarrow~x"=\dfrac{-4}{2}~\longrightarrow~x"=-2$

As raízes são $3$ e $-2$. Assim, o gráfico dessa função intercepta o eixo $x$ nos pontos $(3,0)$ e $(-2,0)$

• Eixo y

Para $x=0$:

$f(0)=0^2-0-6$

$f(0)=0-0-6$

$f(0)=-6$

Desse modo, o gráfico dessa função intercepta o eixo $y$ no ponto $(0,-6)$

• Vértice

$\bullet~~x_V=\dfrac{-b}{2a}$

$x_V=\dfrac{-(-1)}{2\cdot1}$

$x_V=\dfrac{1}{2}$

$\bullet~~y_V=\dfrac{-\Delta}{4a}$

$y_V=\dfrac{-25}{4\cdot1}$

$y_V=\dfrac{-25}{4}$

Logo, o vértice é $V\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{-25}{4}\right)$

Como $a=1$ é positivo, a concavidade da parábola é voltada para cima, e $V\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{-25}{4}\right)$ é o ponto de mínimo dessa função

O gráfico está em anexo (em preto)

b) $f(x)=-x^2+4x-4$

• Raízes da função:

$-x^2+4x-4=0$

$\Delta=4^2-4\cdot(-1)\cdot(-4)$

$\Delta=16-16$

$\Delta=0$

$x=\dfrac{-4\pm\sqrt{0}}{2\cdot(-1)}=\dfrac{-4\pm0}{-2}$

$x'=x"=\dfrac{-4}{-2}$

$x'=x"=2$

A única raiz é $2$. Assim, o gráfico dessa função intercepta o eixo $x$ no ponto $(2,0)$

• Eixo y

Para $x=0$:

$f(0)=-0^2+4\cdot0-4$

$f(0)=-0+0-4$

$f(0)=-4$

Desse modo, o gráfico dessa função intercepta o eixo $y$ no ponto $(0,-4)$

• Vértice

$\bullet~~x_V=\dfrac{-b}{2a}$

$x_V=\dfrac{-4}{2\cdot(-1)}$

$x_V=\dfrac{-4}{-2}$

$x_V=2$

$\bullet~~y_V=\dfrac{-\Delta}{4a}$

$y_V=\dfrac{-0}{4\cdot(-1)}$

$y_V=\dfrac{-0}{-4}$

$y_V=0$

Logo, o vértice é $V(2,0)$

Como $a=-1$ é negativo, a concavidade da parábola é voltada para baixo, e $V(2,0)$ é o ponto de máximo dessa função

O gráfico está em anexo (em azul)

c) $f(x)=-x^2+7x-6$

• Raízes da função:

$-x^2+7x-6=0$

$\Delta=7^2-4\cdot(-1)\cdot(-6)$

$\Delta=49-24$

$\Delta=25$

$x=\dfrac{-7\pm\sqrt{25}}{2\cdot(-1}=\dfrac{-7\pm5}{-2}$

$x'=\dfrac{-7+5}{-2}~\longrightarrow~x'=\dfrac{-2}{-2}~\longrightarrow~x'=1$

$x"=\dfrac{-7-5}{-2}~\longrightarrow~x"=\dfrac{-12}{-2}~\longrightarrow~x"=6$

As raízes são $1$ e $6$. Assim, o gráfico dessa função intercepta o eixo $x$ nos pontos $(1,0)$ e $(6,0)$

• Eixo y

Para $x=0$:

$f(0)=-0^2+7\cdot0-6$

$f(0)=-0+0-6$

$f(0)=-6$

Desse modo, o gráfico dessa função intercepta o eixo $y$ no ponto $(0,-6)$

• Vértice

$\bullet~~x_V=\dfrac{-b}{2a}$

$x_V=\dfrac{-7}{2\cdot(-1)}$

$x_V=\dfrac{-7}{-2}$

$x_V=\dfrac{7}{2}$

$\bullet~~y_V=\dfrac{-\Delta}{4a}$

$y_V=\dfrac{-25}{4\cdot(-1)}$

$y_V=\dfrac{-25}{-4}$

$y_V=\dfrac{25}{4}$

Logo, o vértice é $V\left(\dfrac{7}{2},\dfrac{25}{4}\right)$

Como $a=-1$ é negativo, a concavidade da parábola é voltada para baixo, e $V\left(\dfrac{7}{2},\dfrac{25}{4}\right)$ é o ponto de máximo dessa função

O gráfico está em anexo (em vermelho)

d) $f(x)=-4x^2+4x-8$

• Raízes da função:

$-4x^2+4x-8=0$

$\Delta=4^2-4\cdot(-4)\cdot(-8)$

$\Delta=16-128$

$\Delta=-112$

Não há raízes reais. Assim, o gráfico dessa função não intercepta o eixo $x$

• Eixo y

Para $x=0$:

$f(0)=-4\cdot0^2+4\cdot0-8$

$f(0)=-0+0-8$

$f(0)=-8$

Desse modo, o gráfico dessa função intercepta o eixo $y$ no ponto $(0,-8)$

• Vértice

$\bullet~~x_V=\dfrac{-b}{2a}$

$x_V=\dfrac{-4}{2\cdot(-4)}$

$x_V=\dfrac{-4}{-8}$

$x_V=\dfrac{1}{2}$

$\bullet~~y_V=\dfrac{-\Delta}{4a}$

$y_V=\dfrac{-(-112)}{4\cdot(-4)}$

$y_V=\dfrac{112}{-16}$

$y_V=-7$

Logo, o vértice é $V\left(\dfrac{1}{2},-7\right)$

Como $a=-4$ é negativo, a concavidade da parábola é voltada para baixo, e $V\left(\dfrac{1}{2},-7\right)$ é o ponto de máximo dessa função

O gráfico está em anexo (em verde)