Question

Determine o valor da diagonal,a área total e o volume de um paralelepípedo de dimensões 10cm,15cm e 18cm.

Answer 1

Vamos começar calculando a área. Para calcular a área total de um paralelepípedo  temos que calcular a área de cada face, sabendo que temos três tipos de faces nesse exemplo, então temos 2 faces com dimensões iguais a 10x15, duas faces com dimensões 15x18 e duas faces com dimensões 10x18.
Para cacular a área delas, basta multiplicar uma dimensão pela outra, e ao fim, somar tudo e multiplicar por 2:

$a_1=10.15\to a_1=150~cm^2\\\\ a_2=15.18\to a_2=270~cm^2\\\\ a_3=10.18\to a_3=180~cm^2\\\\\\ A_T=2.(150+270+180)\to \\\\A_T=2.600\to\\\\ \boxed{\boxed{A_T=1200~cm^2}}$




Agora o volume. É mais simples, as dimensões desse paralelepípedo são 10, 15 e 18, certo?! Para calcular o volume basta que você multiplique todas elas:

$V=10.15.18\to \boxed{\boxed{V=2700~cm^3}}$




Agora calculamos a diagonal. Observe o desenho pra você ter uma ideia.
A diagonal de um paralelepípedo se calcula usando o teorema de Pitágoras, que diz que a hipotenusa é igual a soma do quadrado dos catetos, $h^2=c^2+c^2$, certo?!

Mas perceba que temos o valor de apenas um dos catetos, que é 18 cm.
O outro cateto, é na verdade a diagonal de uma das faces do paralelepípedo, que vamos ter que encontrar usando também o teorema de Pitágoras. Vamos lá:

Para calcular a diagonal da face, perceba que uma das dimensões é igual a 15 cm e a outra é igual a 10 cm.  A diagonal então será:

$d^2=10^2+15^2\to d^2=100+225\to d^2=325\to d= \sqrt{325} \to\\\\ d= \sqrt{5^2.13} \to \boxed{d=5 \sqrt{13} ~cm}$


Agora podemos calcular a diagonal do paralelepípedo (linha pontilhada), pois temos um cateto que mede 18 cm, e outro que mede 5√13 cm:


$D^2=(5 \sqrt{13} )^2+18^2\to D^2=25 \sqrt{169} +324\to D^2=25.13+324\to \\\\ D^2=325.324\to D^2=105300\to D= \sqrt{105300}\to \\\\ D= \sqrt{2^2.3^2.3^2.5^2.13} \to D=2.3.3.5 \sqrt{13} \to \boxed{\boxed{D=90 \sqrt{13} ~cm}}$