Question

7. (OBM) O valor da soma
22003
91001
+
22002 . 91001
41001 . 32003
é:
41001 . 32003
a)
c) 1
e) 2
13 23
b)
d)
43​

Answer 1

A expressão correta seria a seguinte :

$\fbox{\displaystyle \frac{2^{2003}.9^{1001}}{4^{1001}.3^{2003}} + \frac{2^{2002}.9^{1001}}{4^{1001}.3^{2003}} }$

vamos relembrar algumas propriedades de potenciação

1) potência de uma potência

$\fbox{\displaystyle (a^x)^y = (a)^{x.y} }$

Repete a base e multiplica os expoentes.

2) Divisão de potências de mesma base  

$\fbox{\displaystyle \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y} }$

Repete a base e subtrai os expoentes.

3) Potência negativa

$\fbox{\displaystyle a^{-x} = \frac{1}{a^x} }$

fica 1 no numerador e a potência vai para o denominador.

Sabendo disso, vamos para a questão.

$\fbox{\displaystyle \frac{2^{2003}.9^{1001}}{4^{1001}.3^{2003}} + \frac{2^{2002}.9^{1001}}{4^{1001}.3^{2003}} }$

vamos começar fatorando os termos 4 e 9, sabendo que:

$4 = 2^2$

$9 = 3^2$

então temos que  :

$\fbox{\displaystyle \frac{2^{2003}.(3^2)^{1001}}{(2^2)^{1001}.3^{2003}} + \frac{2^{2002}.(3^2)^{1001}}{(2^2)^{1001}.3^{2003}} }$

Agora vamos aplicar a 1ª propriedade, multiplicando o expoente que está dentro do parêntese pelo o expoente fora do parêntese. Assim :

$\fbox{\displaystyle \frac{2^{2003}.(3)^{2.1001}}{(2)^{2.1001}.3^{2003}} + \frac{2^{2002}.(3)^{2.1001}}{(2)^{2.1001}.3^{2003}} \to \frac{2^{2003}.(3)^{2002}}{(2)^{2002}.3^{2003}} + \frac{2^{2002}.(3)^{2002}}{(2)^{2002}.3^{2003}} }$

Agora vamos aplicar a 2ª propriedade para os termos de bases iguais.

$\fbox{\displaystyle \frac{2^{2003}.(3)^{2002}}{(2)^{2002}.3^{2003}} + \frac{2^{2002}.(3)^{2002}}{(2)^{2002}.3^{2003}} \ \to 2^{(2003-2002)}.3^{(2002-2003)} + 2^{(2002-2002)}.3^{(2002-2003)} }$só fazer as subtrações, ficando  :

$\fbox{\displaystyle 2^{1}.3^{-1} + 2^{0}.3^{-1} }$

agora temos expoente negativo, então aplicaremos a 3ª propriedade:

(lembrando que $2^0= 1$)

$\fbox{\displaystyle 2^{1}.3^{-1} + 2^{0}.3^{-1} \to \frac{2}{3} + \frac{1}{3} }$

denominador são iguais então é só somar os numeradores :

$\fbox{\displaystyle \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \to \frac{2+1}{3} \to \frac{3}{3} = 1 }$

portanto :

$\fbox{\displaystyle \frac{2^{2003}.9^{1001}}{4^{1001}.3^{2003}} + \frac{2^{2002}.9^{1001}}{4^{1001}.3^{2003}} = 1 }$

Letra C