Question

2 - Os pontos R(1, -2) e B(3, 4) são os extremos do diâmetro de uma circunferência.
A equação dessa circunferência é:
a) x2 + y2 - 4x - 2y + 5 = 0
b) x2 + y2 + 4x - 2y - 5 = 0
c) x2 + y2 - 4x + 2y + 5 = 0
d) x2 + y2 + 4x + 2y + 5 = 0
e) x2 + y2 - 4x - 2y - 5 = 0

Answer 1

Para determinar a equação de uma circunferência precisamos de duas coisas: as coordenadas do centro e a medida do raio.

Se R e B são os extremos do diâmetro, o ponto médio entre eles será o centro da circunferência, chamaremos este ponto médio (o centro da circunferência) de "C":

$C=(\frac{1+3}{2},\frac{-2+4}{2})=(\frac{4}{2},\frac{2}{2})=(2,1)$

Se R e B são os extremos do diâmetro, a distância entre eles é a medida do diâmetro:

$d^2=(3-1)^2+(-2-4)^2$

$d^2=2^2+(-6)^2$

$d^2=4+36$

$d^2=40$

$d=\sqrt{40}$

$d=\sqrt{4.10}$

$d=2\sqrt{10}$

Como sabemos, o raio mede metade do diâmetro, então o raio da circunferência é:

$r=\frac{2\sqrt{10} }{2}$

$r=\sqrt{10}$

Agora que temos as coordenadas do centro "C" e o raio "r" nós podemos descobrir a equação geral da circunferência.

A equação geral segue o modelo:

$x^2+y^2-2x_{c}.x-2y_{c}.y+x_{c}^2+y_{c}^2-r^2=0$

onde substituiremos $x_c$ por 2 (o "x" do centro), $y_c$ por 1 (o "y" do centro) e $r$ por $\sqrt{10}$ (o raio da circunferência):

$x^2+y^2-2.2.x-2.1.y+2^2+1^2-(\sqrt{10})^2=0$

$x^2+y^2-4x-2y+4+1-10=0$

$x^2+y^2-4x-2y-5=0$

Gabarito: e)