Question

Encontre a área entre as curvas y= x²-5x+6 e y=2x , para 0≤x≤4

Answer 1

Primeiro vamos encontrar as raízes dessas duas funções.

• Lembrando que para encontrar a função, basta igualar a mesma a "0".

→ Primeira função (y = x² - 5x + 6):

$\sf y = x {}^{2} - 5x + 6 \\ \\ \sf x {}^{2} - 5x + 6 = 0 \\ \\ \bullet \: \sf coeficientes \rightarrow \begin{cases} \sf a = 1 \\ \sf b = - 5 \\ \sf c = 6 \end{cases} \\ \\ \bullet \: \sf bh \acute{a}skara \rightarrow x = \frac{ - b \pm \sqrt{b {}^{2} - 4.a.c} }{2.a} \\ \\ \sf x = \frac{ - ( - 5) \pm \sqrt{( - 5) {}^{2} - 4.1.6} }{2.1} \\ \\ \sf x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24} }{2} \\ \\ \sf x = \frac{5 \pm \sqrt{1} }{2} \\ \\ \sf x = \frac{5 \pm1}{2} \rightarrow \begin{cases} \sf x _1 = \frac{5 + 1}{2} \\ \sf x _1 = \frac{6}{2} \\ \sf x _1 = 3 \\ \\ \sf x_2 = \frac{5 - 1}{2} \\ \sf x_2 = \frac{4}{2} \\ \sf x_2 = 2 \end{cases} \\ \\ \boxed{ \sf S = \{2,3 \}}$

→ Segunda função (y = 2x):

$\sf y = 2x \\ \\ \sf 2x = 0 \\ \sf x = \frac{0}{2} \\ \sf x = 0 \\ \\ \sf S = \{0 \}$

• Após ter calculado as raízes, faça um esboço dos gráficos em um mesmo plano cartesiano. (Está anexado na resposta).

Observe que surgiu uma pequena área entre o gráfico da função quadrática e a função linear e é exatamente essa área que temos que calcular. Antes que possamos calcular de fato, precisamos encontrar os pontos onde terminam e começam essa "área", para isso basta igualar as duas funções.

$\sf 2x = x {}^{2} - 5x + 6 \\ \sf x {}^{2} - 5x + 6 - 2x = 0 \\ \sf x {}^{2} - 7x + 6 = 0\\ \bullet \: \sf coeficientes \rightarrow \begin{cases} \sf a = 1 \\ \sf b = - 7 \\ \sf c = 6 \end{cases} \\ \\ \bullet \: \sf bh \acute{a}skara \rightarrow x = \frac{ - b \pm \sqrt{b {}^{2} - 4.a.c} }{2.a} \\ \\ \sf x = \frac{ - ( - 7) \pm \sqrt{( - 7) {}^{2} - 4.1.6} }{2.1} \\ \\ \sf x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24} }{2} \\ \\ \sf x = \frac{7 \pm \sqrt{25} }{2} \\ \\ \sf x = \frac{7 \pm5}{2} \rightarrow \begin{cases} \sf x _1 = \frac{7 + 5}{2} \\ \sf x _1 = \frac{12}{2} \\ \sf x _1 = 6 \\ \\ \sf x_2 = \frac{7 - 5}{2} \\ \sf x_2 = \frac{2}{2} \\ \sf x_2 = 1 \end{cases}$

Portanto esse será o intervalo a qual a integral estará submetida.

• Vamos montar a tal integral. A função que será integrada será dada pela subtração da função linear pela função quadrática.

$\sf \int_1^{6} 2x - (x {}^{2} - 5x + 6)dx \\ \\ \sf \int_1^{6} (- x {}^{2} + 7x - 6)dx$

Integrando a função:

$\sf \int _1 ^{6} - x {}^{2} + 7x - 6 \\ \\ \sf \int _1 ^{6} - \frac{x {}^{2 + 1} }{2 + 1} + \frac{7x {}^{1 + 1} }{1 + 1} - \frac{6x {}^{0 + 1} }{0 + 1} \\ \\ \boxed{\sf \int _1 ^{6} - \frac{ {x}^{3} }{3} + \frac{7x {}^{2} }{2} - 6x}$

Aplicando o Teorema fundamental do cálculo:

$\sf \int _1 ^{6} - \frac{x {}^{3} }{3} + \frac{7x {}^{2} }{2} - 6x \\ \\ \sf \int - \frac{x {}^{3} }{3} + \frac{7x {}^{2} }{2} - 6 \: \: \begin{array}{|}_ 6 \\ \\ ^{1} \end{array} = \\ \\ = \sf - \frac{6 {}^{3} }{3} + \frac{7.6 {}^{2} }{2} - 6.6 - \left( - \frac{1 {}^{3} }{3} + \frac{7.1 {}^{2} }{2} - 6.1 \right) = \\ \\ \sf = - \frac{216}{3} + \frac{7.36}{2} - 36 + \frac{1}{3} - \frac{7}{2} + 6 = \\ \\ \sf = - 72 + \frac{252}{2} - 36 + \frac{1}{3} - \frac{7}{2} + 6 = \\ \\ \sf = - 72 + 126 - 36 + \left ( \frac{2 - 21}{6} \right) + 6 = \\ \\ \sf = 18 - \frac{19}{6} + 6 \: = \: \sf 24- \frac{19}{6} = \\ \\ \sf = \frac{24.6 - 1.19}{6} = \frac{144 - 19}{6} = \boxed{\sf \frac{125}{6} u.a}$

O intervalo certo, seria [1,6], mas a questão nos diz para fazer no intervalo de [0,4], então vamos fazer a mesma coisa que fizemos anteriormente.

$\sf \sf \int _0 ^{4} - \frac{x {}^{3} }{3} + \frac{7x {}^{2} }{2} - 6x = \\ \\ = \sf \int - \frac{x {}^{3} }{3} + \frac{7x {}^{2} }{2} - 6x \: \: \begin{array}{|}_4 \\ \\ ^{0} \end{array} = \\ \\ = \sf - \frac{4 {}^{3} }{3} + \frac{7.4 {}^{2} }{2} - 6.4 - \left( - \frac{0 {}^{2} }{3} + \frac{7.0 {}^{2} }{2} - 6.0 \right) = \\ \\ \sf = - \frac{64}{3} + \frac{7.16}{2} - 24 + \frac{0}{3} - \frac{0}{2} + 0 = \\ \\ \sf = - \frac{64}{3} + \frac{112}{2} - 24 + 0 - 0 + 0 = \\ \\ \sf = - \frac{64}{3} + 56 - 24 = - \frac{64}{3} + 32 = \\ \\ \sf = - \frac{64.1 + 3.32}{3} = - \frac{64 + 96}{3} = \\ \\ \sf = \frac{ - 64}{3} + \frac{96}{3} = \boxed{\sf \frac{32}{3} u.a}$

Espero ter ajudado