Question

1 - Qual das opções a seguir representam a equação da diretriz da parábola definida por (x-2)²=8(y-4)? * 1 ponto
a) y = 2
b) y = -2
c) x = 2
d) x = -2
2 - O foco da parábola definida pela equação y²=12(x+2) tem coordenadas: * 1 ponto
a) F(-1, 0)
b) F(0, -1)
c) F(1, 0)
d) F(0, 1)

Answer 1

Vamos lá
a) Tem que utilizar formula , dada por:
vamos abrir as parêntesis
(x + 3)² = (x - 3)² + y² 
x² + 6x + 9 = x² - 6x + 9 + y²
equaçao de nossa parabola é
y² = 12x 
b) a equaçao da parábola com o vórtice(h,k) e diretriz y = k - p è
(x - h)² = 4p*(y - k)
como o vértice é V(0,0) 
temos ⇒ h = 0 e k = 0
a diretriz é
y = k - p = 3
y = 0 - p = 3
p = -3
equaçao
x² = -12y 
c)
(x + 2)² = (x - 1)² + (y - 2)² 
vamos abrir as parêntesis
x² + 4x + 4 = x² - 2x + 1 + y² - 4y + 4
6x  = y² - 4y + 1 
x = (y² - 4y + 1)/6
d) a equaçao da parábola com o vórtice(h,k) e diretriz x = h - p é
(x - h) = 4p*(y - k)²
com  V(-1,-3) temos  h = -1, k = -3
x = h - 1/16p = -1 - 1/16p = 2
1/16p = -3
-48p = 1
p = -1/48
equaçao (x - h) = 4p*(y - k)²
(x + 1) = -((y - k)²/12


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Answer 2

(1) A equação da diretriz da parábola é dada por y = 2, alternativa A.

(2) O foco da parábola tem coordenadas F(1, 0), alternativa C.

Estas questões se tratam de parábolas. Uma parábola pode ter quatro equações diferentes:

• Eixo de simetria paralelo ao eixo x:

(y-y₀)² = 2p(x - x₀) → (concavidade para a direita)

(y-y₀)² = -2p(x - x₀) → (concavidade para a esquerda)

• Eixo de simetria paralelo ao eixo y:

(x-x₀)² = 2p(y - y₀) → (concavidade para a cima)

(x-x₀)² = -2p(y - y₀) → (concavidade para a baixo)

(x₀, y₀) é o vértice da parábola;

O parâmetro p é a distância entre a reta diretriz e o foco;

QUESTÃO 1

A reta diretriz é perpendicular ao eixo da parábola a uma distância de p/2 unidades do vértice. Na parábola (x - 2)² = 8(y - 4), temos que:

• Eixo paralelo ao eixo y

• V = (2, 4)

• 2p = 8 ⇔ p = 4 ⇔ p/2 = 2

Portanto, a reta diretriz é da forma:

y = y₀ - p/2

Substituindo os valores:

y = 4 - 2

y = 2

Resposta: A

QUESTÃO 2

O foco da parábola está a uma distância de p/2 unidades do vértice. Na parábola y² = 12(x + 2), temos que:

• Eixo paralelo ao eixo x

• V = (-2, 0)

• 2p = 12 ⇔ p = 6 ⇔ p/2 = 3

Portanto, o foco tem coordenadas:

F = (x₀ + p/2, y₀)

Substituindo os valores:

F = (-2 + 3, 0)

F = (1, 0)

Resposta: C

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