Question

m² + n² = 4 e mn = 3

Answer 1

Tenham-se  $m,\;n\neq 0$ :

    $\left\{\begin{array}{ll}m^2+n^2=4\\mn=3\end{array}\right\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}(\frac{3}{n})^2+n^2=4\\m=\frac{3}{n}\end{array}\right\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}\frac{9}{n^2}+n^2=4\\m=\frac{3}{n}\end{array}\right\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}\frac{9}{n^2}+\frac{n^2\times n^2}{n^2}=\frac{4n^2}{n^2}\\m=\frac{3}{n}\end{array}\right\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}9+n^2\times n^2=4n^2\\m=\frac{3}{n}\end{array}\right\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}9+n^4-4n^2=0\\m=\frac{3}{n}\end{array}\right\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}n^4-4n^2+9=0\\m=\frac{3}{n}\end{array}\right\;\;\;\;\;\;Impossivel$

  Cálculos Auxiliares  

Os divisores de um polinómio são sempre os divisores do termo independente e os seus simétricos, pelo que:

$n=1\;\longrightarrow\;1^4-4\times1^2+9=1-4+9=6\;\;(\neq 0)$

$n=-1\;\longrightarrow\;(-1)^4-4\times(-1)^2+9=1-4\times1+9=1-4+9=6\;\;(\neq 0)$

$n=2\;\longrightarrow\;2^4-4\times2^2+9=16-16+9=16-4\times4+9=9\;\;(\neq 0)$

$n=-2\;\longrightarrow\;(-2)^4-4\times(-2)^2+9=16-4\times4+9=16-16+9=9\;\;(\neq 0)$

$n=3\;\longrightarrow\;3^4-4\times3^2+9=81-4\times9+9=81-36+9=54\;\;(\neq 0)$

$n=-3\;\longrightarrow\;(-3)^4-4\times(-3)^2+9=81-4\times9+9=81-36+9=54\;\;(\neq 0)$

Como nenhum dos divisores do termo independente são raízes do polinómio, não o podemos simplificar, pelo que nos resta analizar o gráfico da função e intersetá-lo com a equação y=0 (em anexo).

Como os gráficos não se intersetam, concluimos que  $n^4-4n^2+9\neq 0,\;\forall_{n\in\mathbb{R}}$ , pelo que não existe nenhum par de valores m e n que satisfaçam as condições apresentadas.

Resposta:  $(m\;;\;n)=\{\;\}$