Question

Olá, eu gostaria de saber se alguém poderia me dar um exemplo melhor do que o da imagem que eu enviei, porque não estou conseguindo entender-lo, só quero um exemplo bom não precisa resolver todas questões

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

É uma propriedade radiciação, vou tentar explicar de forma mais sucinta.

O índice é o número que fica na parte superior esquerda do radical.

O radicando é o numero dentro do radical.

Tudo que você fizer no índice, deverá ser feito no expoente do radicando.

(OBS: Todo número inteiro está elevado a 1.)

1 é o mesmo que 1¹

10 é o mesmo que 10¹

Então se você tem por exemplo uma raíz assim:

$\sqrt{6^{3} } = \sqrt[2]{ {6}^{3} }$

Se eu quiser simplesmente mudar o índice (2) da minha raíz multiplicando ou dividindo por um número qualquer, eu devo fazer o mesmo com o expoente do meu radicando.

Vou multiplicar o índice de minha raíz quadrada de cima por 3. Obrigatoriamente, vou ter que multiplicar o expoente 3 do meu radicando 6 por 3 também.

$\sqrt[2 \times 3]{ {6}^{3 \times 3} } = \sqrt[6]{ {6}^{9} }$

Outro exemplo:

$\sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{ {2}^{1} }$

Se eu multiplicar o ÍNDICE, sei lá, por 5 por exemplo, vou ter fazer o mesmo com o expoente do radicando (expoente do número dentro do radical)

$\sqrt[4 \times 5]{ {2}^{1 \times 5} } = \sqrt[20]{ {2}^{5} }$

Um exemplo de divisão agora.

$\sqrt[15]{ {2}^{30} }$

Se eu dividir o Índice por exemplo, por 5, dividirei também o expoente do radicando por 5

$\sqrt[15 \div 5]{ {2}^{30 \div 5} } = \sqrt[3]{ {2}^{6} }$

Aí você pergunta, para que isso vai servir? Primariamente para realizar as quatro operações entre raízes. Só se pode fazer cálculo com raíz de mesmo índice.

Assim, se eu tiver:

$\sqrt[3]{2} \times \sqrt[6]{ {2}^{4} } =$

Não posso resolver do jeito que está. Assim, devo ou multiplicar o índice da primeira por um valor que resulte em 6, ou dividir o índice da segunda por um valor que resulte em 3. Sempre lembrando se obedecer as regras. (O que fizer no índice, faz no expoente do radicando)

$\sqrt[3]{2} \times \sqrt[6]{ {2}^{4} } = \sqrt[3 \times 2]{ {2}^{1 \times 2} } \times \sqrt[6]{ {2}^{4} }$

$\sqrt[6]{ {2}^{2} } \times \sqrt[6]{ {2}^{4} } = \sqrt[6]{ {2}^{2} \times {2}^{4} } = \sqrt[6]{ {2}^{6} }$

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1)

$\sqrt[3]{ {a}^{4} } = \sqrt[3 \times 2]{ {a}^{4 \times 2} } = \sqrt[6]{ {a}^{8} }$

2)

$\sqrt[5]{m ^{3} } = \sqrt[5 \times 4]{ {m}^{3 \times 4} } = \sqrt[20]{ {m}^{12} }$

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No caso da 1 da outra questão é só observar. Antes era um valor no índice e no expoente do radicando. Depois índice mudou porque multiplicou um número, então o expoente do radicando deve ter sido multiplicado por esse mesmo número oculto. Só basta verificar.

O índice era 3 e depois passou para 6 e o número que multiplica 3 para dar em 6 é o 2. Então o expoente do radicando deve ser multiplicado também por 2

$\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{ {5}^{1} }$

Multiplicando por 2 o índice:

$\sqrt[3 \times 2]{ {5}^{1 \times 2} } = \sqrt[6]{ {5}^{2} }$

Então 1 é verdadeiro.

Pronto, espero que tenha entendido. Vou deixar as outras, para você responder, afinal matemática só aprende realmente, fazendo exercícios.

Bons estudos!