Question

Determine a área do círculo com centro no ponto C (2, 3) e tangente a reta 3x + 4y + 7 = 0

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{A=25\pi}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Esta questão de geometria analítica visa calcular a área de um círculo, dada algumas condições.

Primeiro, é dito a posição do centro, que está nas coordenadas $(2,~3)$. Também é dito que a circunferência é tangente a reta de equação $3x+4y+7=0$.

Sabemos que para uma circunferência ser tangente a uma reta, a distância do centro a esta reta deve ser igual a medida do raio.

A fórmula que utilizamos para encontrar a distância de um ponto qualquer $(x_1,~y_1)$ à uma reta de equação $ax+by+c=0$ é dada por:

$d_{pr} =\dfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Substituindo os valores que conhecemos, dados pelo enunciado, temos

$d_{pr}=\dfrac{|3\cdot 2 +4\cdot 3 + 7|}{\sqrt{3^2+4^2}}$

Multiplicando os valores e calculando as potências, temos que

$d_{pr}=\dfrac{|6+12+7|}{\sqrt{9+16}}$

Some os valores e calcule a raiz

$d_{pr}=\dfrac{|25|}{\sqrt{25}}\\\\\\ d_{pr}=\dfrac{|25|}{5}$

Lembre-se que o valor absoluto de um número é sempre positivo

$d_{pr}=\dfrac{25}{5}\\\\\\\ d_{pr}=5$

Como dito anteriormente, para que a reta seja tangente à circunferência, devemos igualar esta distância ao raio, logo

$d_{pr}=r\\\\\\ r=5$

Agora, podemos substituir este valor na fórmula para calcular a área de um círculo, dada por $A=\pi\cdot r^2$

Substituindo os valores, temos

$A=\pi\cdot5^2$

Calcule a potência

$A=25\pi$

Esta é a área do círculo nestas condições.