• Matéria: Matemática
  • Autor: leolportesp47l95
  • Perguntado 6 anos atrás

Preciso de ajuda em questões de limites
lim (3-x)/((x+2)(x-4))\\x->4(+)\\\\lim (3-x)/((x+2)(x-4))\\x->4(-)Preciso de ajuda em questões de limites


leolportesp47l95: lim (3-x)/((x+2)(x-4))\\x->4(+)
lim (3-x)/((x+2)(x-4))\\x->4(-)

Respostas

respondido por: Nefertitii
1

Temos os seguintes limites:

 \blue\bullet\sf\lim_{x \rightarrow 4^{+}}   \frac{3 - x}{(x + 2).(x - 4)}\blue\bullet\\  \\ \orange\bullet \sf\lim_{x \rightarrow 4^{ - }}   \frac{3 - x}{(x + 2).(x - 4)}\orange\bullet

Nesse caso vamos trabalhar com os limites laterais. Para não embaralhar tudo vamos resolver bem vagarosamente pra entendermos tudo.

  • Vamos começar analisando o limite a qual o "x" tende pela direta do número "4".

 \blue\bullet\sf  \sf\lim_{x \rightarrow 4^{+}}   \frac{3 - x}{(x + 2).(x - 4)}\blue\bullet  \\

O limite tender a número a direta de 4 quer dizer que "x" deve ser um número maior que "4", portanto:

 \sf x > 4  \:  \:  \: \therefore \:  \:  \:  x - 4 > 0

  • Com isso podemos ver que x - 4 será maior que "0" para valores que estejam a direta de "4". Como esse valor está se aproximando pela direta de "4" quer dizer então que ele está tendendo a "0" pela direita.

Tendo entendido isso, vamos substituir o valor a qual o "x" tende:

 \sf\lim_{x \rightarrow 4^{+}}   \frac{3 - x}{(x + 2).(x - 4)}  \\  \\  \sf  \frac{3 - x}{(x + 2).(x - 4)}  =  \frac{3 - 4}{(4 + 2).(4 - 4)}  =  \frac{ - 1}{6.0}  =  \frac{ - 1}{0}

  • Deduzimos ali em cima que esse denominador tende a "0" pela direita e de fato tende mesmo, portanto devemos lembrar que quando o número tende a um valor fixo (-1) divido por "0", isso tende a ± , como o nosso denominador tende a "0" pela direta, teremos então que:

 \sf  \frac{ - 1}{0 {}^{ + } }  =  -  \infty \\

Nessa divisão aplicas-se o jogo dos sinais, pois como o denominador tende a valores positivos e o numerador a valores negativos teremos um jogo de sinais.

  • Do mesmo jeito que fizemos com o limite tendendo a "4" pela direta, faremos com o limite tendendo a "4" pela esquerda.

\orange\bullet \sf\lim_{x \rightarrow 4^{ - }}   \frac{3 - x}{(x + 2).(x - 4)} \orange\bullet\\

O limite tende a valores a esquerda de "4", ou seja, a valores menores que ele, portanto:

 \sf x < 4  \:  \:  \: \therefore \:  \:  \: x - 4 < 0

  • Dessa vez o x - 4 será menor que "0" para valores de "x" que tendam a valores a esquerda de que "4", agora esse "x" se aproxima de "4" pela esquerda, ou seja, tende a "0" pela esqueda.

Substituindo o valor a qual o "x" tende:

 \sf  \sf\lim_{x \rightarrow 4^{ - }}   \frac{3 - x}{(x + 2).(x - 4)}  \\  \\   \sf\frac{3 - x}{(x + 2).(x - 4)}  =  \frac{3 - 4}{(4 + 2).( 4- 4)}  =  \frac{ - 1}{6.0 }  =  \frac{ - 1}{0}

  • No mesmo princípio do cálculo anterior deduzimos que esse denominador tende a "0" pela esquerda, portanto:

 \sf   \frac{ - 1}{0 {}^{ - } }  =   + \infty \\

Por fim podemos concluir que se os limites laterais não são iguais, logo o limite bilateral não existirá.

 \begin{cases} \blue\bullet  \sf\lim_{x \rightarrow 4^{+}}   \frac{3 - x}{(x + 2).(x - 4)} =  -  \infty   \blue\bullet\\  \\\orange\bullet \sf\lim_{x \rightarrow 4^{+}}   \frac{3 - x}{(x + 2).(x - 4)} =  +  \infty\orange\bullet  \end{cases} \Longrightarrow \red{\sf \nexists  \lim_{ x \rightarrow 4} \frac{3 - x}{(x + 2).(x - 4)} }

Espero ter ajudado

Perguntas similares