Question

Dados os pontos A(1,3),B(3,7) e C(4,K): determine o valor de k para que a área do triângulo ABC sejam igual a zero. (K=9)

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{k=9~~\checkmark}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão de geometria analítica, utilizaremos matrizes.

Sabemos que a área de um triângulo com vértices em pontos do plano cartesiano pode ser calculada pela fórmula:

$A=\dfrac{1}{2}\cdot\begin{Vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\\\end{Vmatrix}\right.$, na qual $(x_1,~y_1),~(x_2,~y_2)~e~(x_3,~y_3)$ são as coordenadas dos vértices desse triângulo

Seja o triângulo com vértices nas coordenadas $A~(1, 3)$, $B~(3,7)$ e $C~(4,~k)$, de acordo com a fórmula, a única maneira de ele ter área zero é se os três pontos forem alinhados.

Ou seja, devemos calcular este determinante $\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\\\end{vmatrix}$ de forma que seu resultado seja zero.

Substitua as coordenadas dos vértices

$\begin{vmatrix}1&3&1\\3&7&1\\4&k&1\\\end{vmatrix}=0$

Para calcularmos este determinante, utilizaremos a Regra de Sarrus. Ela consiste em replicarmos as duas primeiras colunas à direita do determinante e calcularmos a diferença entre a soma dos produtos dos elementos que pertencem às diagonais que partem da esquerda para a direita e a soma dos produtos dos elementos que pertencem às diagonais que partem da direita para a esquerda. Isto é:

$\left|\begin{matrix}1&3&1\\3&7&1\\4&k&1\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}1&3\\3&7\\4&k \end{matrix}\right.=0$

Aplique a regra

$1\cdot7\cdot1+3\cdot1\cdot4+1\cdot3\cdot k - (3\cdot3\cdot1+1\cdot k\cdot1 + 1\cdot7\cdot4)=0$

Multiplique os valores e aplique a regra de sinais para retirar os termos de dentro dos parênteses

$7+12+3k-9-k-28=0$

Some os termos semelhantes

$2k-18=0$

Isole $2k$ somando 18 em ambos os lados da equação

$2k=18$

Divida ambos os lados por 2

$k=9$

Este é o valor de $k$ para que o "triângulo" ABC tenha área zero.