Matéria: Matemática
Autor: ellenuchihaa
Perguntado 6 anos atrás

Determine o décimo sétimo termo da PA (-6,-1,4,....).

Respostas

respondido por: viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (-6, -1, 4,...), tem-se que:

a)cada elemento nela presente, exceto o primeiro, será o resultado do imediatamente anterior adicionado a um mesmo valor, a saber, 5 unidades (por exemplo, -1=-6+5 e 4=-1+5). Se um comportamento deste tipo acontece (soma de um mesmo valor para formar os termos seguintes), tem-se uma sequência numérica especial, denominada progressão aritmética (P.A.).

b)progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão.

c)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: -6 (é o primeiro elemento da sequência e consiste no único número não formado pela soma de um anterior com a razão);

d)décimo sétimo termo (a₁₇): ?

e)número de termos (n): 17

Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 17ª), equivalente ao número de termos.

f)Embora não se saiba o valor do décimo sétimo termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem, afastam-se do zero, para a direita dele, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = -1 - (-6) ⇒

r = -1 + 6

r = 5 (Razão positiva, conforme prenunciado no item f acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o décimo sétimo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₇ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₁₇ = -6 + (17 - 1) . (5) ⇒

a₁₇ = -6 + (16) . (5) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₁₇ = -6 + 80 ⇒

a₁₇ = 74

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O décimo sétimo termo da P.A. (-6, -1, 4, ...) é 74.

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VERIFICAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₁₇ = 74 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o décimo sétimo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₇ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

74 = a₁ + (17 - 1) . (5) ⇒

74 = a₁ + (16) . (5) ⇒

74 = a₁ + 80 ⇒

74 - 80 = a₁ ⇒

-6 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = -6 (Provado que a₁₇ = 74.)

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