Question

Observe a sequência de números naturais a seguir:
1, 3, 5, 2, 4, 7, 9, 11, 6, 8, 13, 15, 17, 10, 12, 19,

O 87º termo dessa sequência é o número: (qual a resolução?? )
(A) 87.                                                    
(B) 99. 
(C) 101. 
(D) 103. 
(E) 105

Answer 1

Essa sequência é bastante peculiar. Ela, em si, não é nenhuma sequência conhecida, mas se você reparar alguns termos você vai encontrar uma PA. Perceba que:

1- os termos da forma 5n-4 formam uma PA de razão 6 com primeiro termo 1;
2- os termos da forma 5n-3 formam uma PA de razão 6 com primeiro termo 3;
3- os termos da forma 5n-2 formam uma PA de razão 6 com primeiro termo 5;
4- os termos da forma 5n-1 formam uma PA de razão 4 com primeiro termo 2;
5- os termos da forma 5n formam uma PA de razão 4 com primeiro termo 4,

com $\mathrm{n} \in \mathbb{N}$. A partir disso podemos escrever a fórmula do termo geral para cada uma das PAs acima:

$1- \ a_{5n-4} = 1 + 6(n-1) \Rightarrow a_{5n-4} = 6n-5 \\ 2- \ a_{5n-3} = 3 + 6(n-1) \Rightarrow a_{5n-3} = 6n-3 \\ 3- \ a_{5n-2} = 5 + 6(n-1) \Rightarrow a_{5n-2} = 6n -1 \\ 4- \ a_{5n-1} = 2 + 4(n-1) \Rightarrow a_{5n-1} = 4n -2 \\ 5- \ a_{5n} = 4 + 4(n-1) \Rightarrow a_{5n} = 4n$.

Os "a" acima são os termos da "sequência peculiar", já separados em suas PAs correspondentes. Por exemplo, se eu quiser saber qual o 13º termo preciso ver qual a forma dele; 13 é da forma 5n-2, daí faço 5n-2 = 13 para encontrar o valor de n e substitui-lo na PA correspondente, que é a 3ª. Fazendo n=3 na 3ª PA encontramos que $a_{13} = 17$.

Então, para encontrarmos o 87º termo precisamos saber qual a forma dele para encontrar o valor de n e substitui-lo na sua PA correspondente. É "fácil" ver que 87 = 5.18 - 3, ou seja, 87 é da 2ª forma e n=18. Substituindo o valor de n na PA correta temos:

$a_{5.18-3} = 6.18 - 3 \Rightarrow \boxed{\boxed{a_{87} = 105}}$

R: e) 105

PS: essa foi a forma mais simples que encontrei de explicar a questão. Tinha outra forma que envolvia muuuuuuuuuuuito mais contas e a explicação era mais complicada também, até eu ia me enrolar pra explicar. Não pense que essas PAs saíram do nada, que foi magia ou coisa do tipo, foi apenas a forma mais simples e com menos esforço pra quem vai ler que encontrei para resolver e explicar.