Question

quais são os valores de y que satisfazem a ambas as igualdades sen(x)=(y+2)/y e cos(x)=(y+1)/y

Answer 1

Relação fundamental da trigonometria:

$sen^{2}(x)+cos^{2}(x)=1$

Substituindo sen(x) e cos(x):

$\left(\dfrac{y+2}{y}\right)^{2}+\left(\dfrac{y+1}{y}\right)^{2}=1\\\\\\\dfrac{(y+2)^{2}}{y^{2}}+\dfrac{(y+1)^{2}}{y^{2}}=1\\\\\\\dfrac{y^{2}+2\cdot y\cdot2+2^{2}}{y^{2}}+\dfrac{y^{2}+2\cdot y\cdot1+1^{2}}{y^{2}}=1\\\\\\\dfrac{y^{2}+4y+4+y^{2}+2y+1}{y^{2}}=1\\\\\\\dfrac{2y^{2}+6y+5}{y^{2}}=1$

Multiplicando os dois lados por y:

$2y^{2}+6y+5=y^{2}\\\\2y^{2}-y^{2}+6y+5=0\\\\y^{2}+6y+5=0$

Resolvendo por soma e produto:

$S=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{6}{1}=-6\\\\\\P=\dfrac{c}{a}=\dfrac{5}{1}=5$

Raízes: números cuja soma é - 6 e o produto é 5

$y'=-1\\\\y''=-5$
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Devemos testar os valores de y na expressão de seno e cosseno:

Se y = - 1:

$sen(x)=\dfrac{y+2}{y}=\dfrac{-1+2}{(-1)}=\dfrac{1}{(-1)}=-1~~~~(ok)\\\\cos(y)=\dfrac{y+1}{y}=\dfrac{-1+1}{(-1)}=\dfrac{0}{(-1)}=0~~~~~~~(ok)$

Se y = - 5:

$sen(x)=\dfrac{-5+2}{(-5)}=\dfrac{-3}{(-5)}=\dfrac{3}{5}~~~~(ok)\\\\\\cos(x)=\dfrac{-5+1}{(-5)}=\dfrac{-4}{(-5)}=\dfrac{4}{5}~~~~~(ok)$

Os dois valores de y dão valores aceitáveis para o seno e cosseno, portanto, os dois satisfazem o problema