Question

Sendo U = IR resolva as seguintes equações exponenciais:

a) 2×= 12

b) 5×‐1= 0

c) 3×+²= 81

d) 10³×= 100 000

e) (5/4)²× = ( 4/5)‐⁶

f) (1/8)× = 16⁴+×​

Answer 1

a) x = 7

b) x ∉ ℝ

c) x = 2

d) x = 4

e) x = 3

f) x = -16/7

Explicação passo-a-passo:

Para se calcular funções exponenciais, basta que você reduza a base da potência de um dos lados para que ambas permaneçam iguais. Depois calcula-se apenas os expoentes.

Ex₁: 2ˣ = 32ˣ

Observe que 32 é múltiplo de 2 e portanto pode ser reescrito de outra forma.

32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁵

Portanto, 32 = 2⁵

2ˣ = 32ˣ → 2ˣ = (2⁵)ˣ

OBS: Potência de potência, multiplica-se os expoentes.

Ex: (2³)² = 2³ˣ² = 2⁶

Ex₂: (((2²)⁴)²)³ = 2²ˣ⁴ˣ²ˣ³ = 2⁴⁸

Ex₃: (2ˣ)³ = 2ˣ*³ = 2³ˣ

Ex₄: (3⁴)²ˣ ⁻ ¹ = 3⁴⁽²ˣ ⁻ ¹⁾ = 3⁸ˣ ⁻ ⁴

Pronto. Agora que já sabemos como resolver equações exponenciais. Vamos resolvê-las.

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a) 2ˣ = 128

128 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁷

Então:

2ˣ = 2⁷

X = 7

b) 5ˣ⁻¹ = 0 não existe x ∈ ℝ , ou seja, x ∉ ℝ

Isso porque, nos reais, não existe valor negativo ou nulo de uma equação exponencial.

c) 3ˣ⁺² = 81

81 = 3⁴ então:

3ˣ⁺² = 3⁴

Agora que as bases estão iguais. É só fazer uma outra equação, só que apenas com os expoentes.

x + 2 = 4 → x = 4 - 2 →

x = 2

d) 10ˣ = 10.000

10.000 = 10⁴ então

10ˣ = 10⁴

X = 4

e) (5/4)²ˣ = (4/5)⁻⁶

Como o expoente é negativo, basta que se inverta a fração com expoente negativo e ele ficará positivo.

(4/5)⁻⁶ = (5/4)⁶ então:

(5/4)²ˣ = (5/4)⁶

2x = 6 → x = 6/2

x = 3

f) (1/8)ˣ = 16⁴⁺ˣ

16 = 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁴

(1/8)ˣ = (8/1)⁻ˣ = 8⁻ˣ Então:

8⁻ˣ = (2⁴)⁴ ⁺ ˣ → 8⁻ˣ = 2¹⁶ ⁺ ⁴ˣ

Porém 8 = 2 × 2 × 2 = 2³ então:

(2³)⁻ˣ = 2¹⁶ ⁺ ˣ → 2⁻³ˣ = 2¹⁶ ⁺ ˣ

Agora que as bases estão iguais, só resolver os expoentes como uma equação comum.

-3x = 16 + 4x → -3x - 4x = 16

-7x = 16 → x = 16/-7

x = - 16/7