Question

Seu Diego é pai de quatro adolescentes, Luizinho, Hugo, Mateus e Joice. Todos estão estudando em um mesmo colégio. Ele gasta muito dinheiro com os lanches dos seus filhos e para não ficar dando dinheiro diariamente a seus filhos ele fez um trato com o dono da cantina do colégio que era pagar os lanches dos seus filhos semanalmente. Na semana passada Luizinho consumiu na cantina 2 salgados, 3 refrigerantes e 4 bolos gastando ao todo 38 reais; Hugo consumiu 5 salgados, 4 refrigerantes e 1 bolo gastando ao todo 46 reais; Mateus consumiu 1 salgado, 2 refrigerantes e 3 bolos gastando ao todo 25 reais; Joice não anotou quanto gastou ao todo, mas se sabe que consumiu na cantina 3 salgados, 5 refrigerantes e 1 bolo. O dono da cantina fez com o Seu Diego um trato de quando os seus filhos gastassem mais de 150 reais por semana ele ganharia 10% de desconto. Então quanto o Seu Diego pagou pelos lanches dos seus filhos na semana passada?

Answer 1

Resposta:

135,90

Explicação passo-a-passo:

Vamos usar as letras: S, R, B para Salgado, Bolo e Refrigerante, respectivamente.

Sabemos que cada filho comeu e gastou:

Luizinho: 2S + 3R + 4B = 38

Hugo:      5S + 4R + 1B = 46

Mateus:   1S + 2R + 3B = 25

Joice:      3S + 5R + 1B = ? (Não sabemos o quanto gastou)

Solução:

Vamos montar um sistema usando uma matriz aumentada e descobrir quanto custa o salgado, o Refrigerante e o bola, assim, poderemos descobrir o quanto "Joice" gastou, somar tudo e deduzir 10% para ver o valor pago:

$\left[\begin{array}{cccc}2&3&4&38\\5&4&1&46\\1&2&3&25\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc} 1&2&3&25 \\ 2&3&4&38 \\5&4&1&46\end{array}\right]$

Vamos reduzir multiplicando a "linha 1" por 2  e 5 e substituir pela linha 2 e 3 respectivamente:

$\left[\begin{array}{cccc} 1&2&3&25 \\ 2&3&4&38 \\5&4&1&46\end{array}\right] 2.L_1 - L_2 ~~~e~~5.L_1 -L_3$

Assim, obtemos a nova matriz :

$\left[\begin{array}{cccc}1&2&3&25\\0&1&2&12\\0&6&14&79\end{array}\right]$

Iremos multiplicar a linha 2 por 6 e subtrair da linha 3:

$\left[\begin{array}{cccc}1&2&3&25\\0&1&2&12\\0&6&14&79\end{array}\right] 6.L_2-L_3$

Finalmente, teremos:

$\left[\begin{array}{cccc}1&2&3&25\\0&1&2&12\\0&0&-2&-7\end{array}\right]$

Logo, teremos, a partir da linha 3, a seguinte relação:

$-2B = -7 ==> B = {7\over 2}$ .  

Vamos substituir o valor de B na linha 2 da última matriz:

$R+2B = 12 ==> R = 12- 2.({7\over2})= => R = 5$

Por fim, substituímos os valores de B e R na linha 1:

$S + 2R+3B = 25 ==> S = 25 -10 - 3. ({7\over2}) ==> S = 4,5$

Logo, podemos afirmar que Joice gastou:

Joice:      3S + 5R + 1B = 3.(4,5) +5.(5) +3,5 = 42

O total gastou foi de:

Total = 38+46+25+42 = 151

Valor a pagar: Total - 10%(Total) = 151 - (10% de 151) = R$ 135,90