Question

Em um lance de um jogo de futebol, o goleiro chuta a bola a qual descreve uma trajetória descrita por y = - 2x² + 2x + 3, onde y é a altura em metros. Qual a altura máxima atingida por essa bola?

Answer 1

Explicação:

A altura máxima corresponde à ordenada do ponto máximo da parábola descrita por y=-2x²+2x+3.

Existem várias formas de determinar este máximo vou apresentar 3 delas para escolheres a que achares mais fácil:

1. Escrever na forma a(x-h)²+k em que o ponto máximo tem coordenadas (h,k)

$y = - 2 {x}^{2} + 2x + 3$

$y = - 2( {x}^{2} - x) + 3$

$y = - 2( {x}^{2} - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} ) + 3$

$y = - 2{(x - \frac{1}{2} )}^{2} + \frac{1}{2} + \frac{6}{2}$

$y = - 2 {(x - \frac{1}{2}) }^{2} + \frac{7}{2}$

h=1/2, k=7/2

(Se não perceberes algum dos passos comenta que eu esclareço)

Seja f(x)=y= -2x²+2x+3

2. Igualar a parábola a um valor determinando dois valores de x que têm a mesma ordenada, depois concluir que h é o valor médio dos valores obtidos e calcular k=f(h).

(Deve-se igualar sempre ao termo independente porque facilita os cálculos e é garantido que a parábola passa por ele)

y=3

-2x²+2x+3=3

-2x²+2x=0

-2x(x-1)=0

-2x=0 ou x-1=0

x=0 ou x=1

logo, h=(0+1)/2=1/2

$k = f( \frac{1}{2} ) = - 2 {( \frac{1}{2} )}^{2} + 2( \frac{1}{2} ) + 3$

k= -2(1/4)+1+3=4-1/2=8/2-1/2=7/2

3. Só se já tiveres conhecimento de derivadas:

f'(x)=-4x+2

No máximo de f, f'(x)=0

-4x+2=0

-4x=-2

x=(-2)/(-4)=1/2=h

logo, k=f(1/2)=7/2

Espero ter ajudado, qualquer dúvida é só comentar!