Question

(ITA)
Os volumes de um tronco de cone, de uma esfera de raio 5 cm e
de um cilindro de altura 11 cm formam nessa ordem uma
progressão aritmética. O tronco de cone é obtido por rotação de
um trapézio retângulo, de altura 4 cm e bases medindo 5 cm e 9
cm, em torno de uma reta passando pelo lado de menor medida.
Então, o raio da base do cilindro é, em cm, igual a

a)
$2 \sqrt{2}$
b)
$2 \sqrt{3}$
c)
$4$
d)
$2 \sqrt{5}$
e)
$2 \sqrt{6}$

​

Answer 1

Resposta = 2√3

Explicação passo-a-passo:

O Volume do tronco é

$vt = \frac{\pi4}{3} (9 {}^{2} + 5 {}^{2} + 9 \times 5)$

$vt = \frac{4\pi}{3} \times 151$

O Volume da esfera é

$ve = \frac{4\pi}{3} \times 5 {}^{3} = \frac{4\pi}{3} \times 125$

Se Vc é o volume do Cilindro e a PA é (VT, VE, VC)

PA = (4π/3. 151 ; 4π/3. 125; Vc)

Razão = r

$r = \frac{4\pi}{3} \times 125 - \frac{4\pi}{3} \times 151$

$r = - \frac{4\pi}{3} \times 26$

Logo,

$vc \: = \frac{4\pi}{3} \times 125 + ( - \frac{4\pi}{3} \times 26)$

$vc \: = \frac{4\pi}{3} \times 99$

Sendo R1 o raio da base do Cilindro temos,

$vc \: = \frac{4\pi}{3} \times 99 = \pi \times (r1) {}^{2} \times 11$

${r1}^{2} = 4 \times 3$

$r1 = 2 \sqrt{3} cm$

Answer 2

O raio da base do cilindro é, em cm, igual a 2√3 cm, alternativa B.

Essa questão se trata de progressão aritmética.  

Sabemos que os volumes dos sólidos formam uma P.A, então podemos encontrar a razão dessa PA a partir dos volumes da esfera e do tronco:

Ve = (4/3)πr³

Ve = (4/3)π·5³

Ve = 500π/3 cm³

O tronco de cone terá raio menor igual a 5 cm, raio maior igual a 9 cm e altura igual a 4 cm, logo:

Vt = (πh/3)·(R² + Rr + r²)

Vt = (4π/3)·(9² + 9·5 + 5²)

Vt = 604π/3 cm³

A razão da PA é:

Ve - Vt = 500π/3 - 604π/3 = -104π/3

Portanto, o volume do cilindro é:

Vc - Ve = -104π/3

Vc = -104π/3 + 500π/3

Vc = 396π/3 cm³

Vc = 132π cm³

O raio da base do cilindro de altura 11 cm é:

Vc = πr²h

132π = πr²·11

r² = 132/11

r² = 12

r = 2√3 cm

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