Question

4- (Cesgranrio-RJ) O ponto A(-1.-2) é um dos vértices de um triângulo equilátero ABC, cujo lado
BC está sobre a reta de equação x + 2y -5 = 0. Determine a medida da altura desse triângulo.

Answer 1

A medida da altura desse triângulo é 2√5.

Devemos calcular a distância entre o ponto A = (-1,-2) e a reta x + 2y - 5 = 0.

Para isso, considere que temos um ponto P = (x₀,y₀) e uma reta ax + by + c = 0. A distância entre o ponto e a reta pode ser calculada pela seguinte fórmula:

• $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Do ponto A, temos que x₀ = -1 e y₀ = -2. Já da reta, temos que a = 1, b = 2 e c = -5.

Então, de |ax₀ + by₀ + c|, obtemos:

|ax₀ + by₀ + c| = |1.(-1) + 2.(-2) - 5| = |-1 - 4 - 5| = |-10| = 10.

Já de √(a² + b²), obtemos:

√(1² + 2²) = √(1 + 4) = √5.

Portanto, podemos concluir que a distância procurada é igual a:

d = 10/√5

d = 2√5.

Com isso, concluímos que a altura do triângulo equilátero ABC é igual a 2√5.