Question

(PORTAL OBMEP) Uma indústria produz mensalmente x lotes de um produto. O faturamento men- sal resultante da venda destes lotes é v (x) = 3x2 — 12x e o custo mensal de produção é dado por c(x) = 5x2 — 40x — 40. Qual é o número de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo?

Answer 1

A quantidade de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é 7 lotes.

• Considere que o lucro obtido pela empresa seja a diferença entre o faturamento mensal resultante da venda destes lotes e o custo mensal de produção. Do enunciado tem-se:

Faturamento mensal resultante da venda destes lotes: v(x) = 3x² − 12x

Custo mensal de produção: c(x) = 5x² − 40x − 40

Quantidade de lotes do produto produzidos mensalmente: x

• Subtraia c(x) de v(x) para obter a função ℓ(x) que representa o lucro.

ℓ(x) = v(x) − c(x)

ℓ(x) = 3x² − 12x − (5x² − 40x − 40)

ℓ(x) = 3x² − 12x − 5x² + 40x + 40

ℓ(x) = −2x² + 28x + 40

• Observe que a função que representa o lucro é uma função do segundo grau cujo coeficiente de x² é negativo e portanto a função é representada por uma parábola de concavidade para baixo.

• O valor máximo de uma parábola de concavidade para baixo é obtido em seu vértice, portanto para determinar o valor de x para um lucro máximo determine a abscissa do vértice (xᵥ) para obter a quantidade (x) de lotes do produto produzidos mensalmente para um lucro máximo.

• Os coeficientes da função ℓ(x) são:

a = −2

b = 28

c = 40

• A abscissa do vértice é obtida por:

$\large \sf x_v = \dfrac{-b}{2a}$  ⟹ Substitua os valores dos coeficientes.

$\large \sf x_v = \dfrac{-28}{2 \cdot (-2)} = \dfrac{-28}{-4}$

$\large \sf x_v = 7$

A quantidade de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é 7 lotes.

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