Question

) Calcule a derivada de f(x) = x3 e use-a para determinar a inclinação da reta tangente à curva y = x3 no ponto x = –1. Assinale a alternativa que contém a equação da reta tangente nesse ponto.

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf f(x) = x {}^{3}$

Primeiro vamos consolidar o ponto em que essa reta toca à curva, sabemos que a abscissa (x) é igual a -1, já a ordenada não sabemos o seu valor, para encontrá-lo, basta substituir o valor da abscissa nessa função.

$\sf y = x {}^{3} \\ \sf y = ( - 1) {}^{3} \\ \sf y = - 1$

Temos então que o ponto de tangência é

$\sf P(-1,-1)$

Agora vamos derivar essa função em relação à "x":

$\sf y' = ( x {}^{3} )'\\ \sf y'= 3.x {}^{3 - 1} \\ \sf y ' =3 x {}^{2}$

Essa é a derivada de f(x).

Você deve lembrar que a definição algébrica de derivada é o coeficiente angular de uma reta, então temos que a mesma representa o "m" da seguinte lei de formação:

$\sf y = mx + n$

Então vamos substituir o valor da abscissa "x" e assim descobrir o valor de "m":

$\sf y' = m \\ \sf m = 3x {}^{2} \\ \sf m = 3.( - 1) {}^{2} \\ \sf m = 3.1 \\ \boxed{ \sf m = 3}$

Substituindo esse valor na lei de formação:

$\sf y = mx + n \\ \sf y = 3x + n$

Para descobrir o valor de "n", basta substituir os valores do ponto que foi consolidado no começo da questão.

$\sf y = 3x + n \rightarrow P(-1,-1) \\ \sf - 1 = 3.( - 1) + n \\ \sf - 1 = - 3 + n \\ \sf n = - 1 + 3 \\ \boxed{\sf n = 2}$

Por fim, temos que a equação é:

$\boxed{\boxed{ \sf y = 3x + 2}}$

Espero ter ajudado

Answer 2

Resposta:

y = 3x + 2

Explicação:

Para x = - 1, y = (- 1)³ = - 1

Pela definição:

mt = f'(x) = lim h → 0 [f(x + h) - f(x)]/h

mt = f'(x) = lim h → 0 [(x + h)³ - x³]/h

mt = f'(x) = lim h → 0 [x³ + 3x²h + 3xh² + h³ - x³]/h

mt = f'(x) = lim h → 0 [3x²h + 3xh² + h³]/h

mt = f'(x) = lim h → 0 h[3x² + 3xh + h²]/h

mt = f'(x) = lim h → 0 [3x² + 3xh + h²]

mt = f'(x) = lim h → 0 [3x² + 3 . x . 0 + 0²]

mt = f'(x) = lim h → 0 [3x²]

mt = [3x²], para x = (- 1)

mt = 3 . (- 1)²

mt = 3 . 1

mt = 3

Agora:

y - yo = m(x - x0)

y - (- 1) = 3(x - (- 1))

y + 1 = 3(x + 1)

y = 3x + 3 - 1

y = 3x + 2