Question

Estime a área do gráfico y=√(25-x2), com domínio em 0≤x≤5 e divisão por 5 retângulos (borda direita como referência).

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{S=7+2\sqrt{6}+\sqrt{21}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Queremos estimar a área do gráfico da função $y=\sqrt{25-x^2}$ no intervalo $0\leq x\leq5$ e com divisão de 5 retângulos tendo a borda direita como referência.

Em outras palavras, se trata de uma Soma de Riemann à direita.

Para estimarmos esta área, lembre-se da fórmula:

$S=\displaystyle{\sum_{i=1}^n f(x_i)\cdot \Delta{x}$, tal que $\Delta{x}$ é a medida de $n$ subdivisões e $i$ é um valor que varia de $1$ até $n$.

Para calcularmos $\Delta{x}$ para 5 subdivisões no intervalo $0\leq x\leq 5$, utilize a fórmula $\Delta{x}=\dfrac{b-a}{n}$. Teremos então:

$\Delta{x}=\dfrac{5-0}{5}$

Some os valores e simplifique a fração

$\Delta{x}=\dfrac{5}{5}\\\\\\ \Delta{x}=1$

Substitua os valores na fórmula

$S=\displaystyle{\sum_{i=1}^5 f(x_i)\cdot 1$

Logo, nossa área será calculada da seguinte forma:

$S=\displaystyle{\sum_{i=1}^5 \sqrt{25-{x_i}^2}$

Calcule o somatório

$S=\sqrt{25-1^2}+\sqrt{25-2^2}+\sqrt{25-3^2}+\sqrt{25-4^2}+\sqrt{25-5^2}$

Calcule as potências

$S=\sqrt{25-1}+\sqrt{25-4}+\sqrt{25-9}+\sqrt{25-16}+\sqrt{25-25}$

Some os valores no radicando

$S=\sqrt{24}+\sqrt{21}+\sqrt{16}+\sqrt{9}+\sqrt{0}$

Decompondo cada radicando em fatores primos, temos que $24=2^3\cdot 3$, $21=3\cdot7$, $16=2^4$ e $9=3^2$. Dessa forma:

$S=\sqrt{2^3\cdot3}+\sqrt{21}+\sqrt{2^4}+\sqrt{3^2}+\sqrt{0}$

Calcule as raízes

$S=2\sqrt{6}+\sqrt{21}+4+3$

Some os valores

$S=7+2\sqrt{6}+\sqrt{21}$

Esta é a área estimada sob o gráfico da função $y=\sqrt{25-x^2}$ pela Soma de Riemann à direita.

Answer 2

Resposta:

E. 16,482

Explicação passo a passo: