Question

Considerando um tetraedro regular, calcule...

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a)~V=9~cm^3~|~b)~V=8\sqrt{3}~cm^3~|~c)~h=2^{\frac{11}{6}}\sqrt{3}}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

O tetraedro regular é um poliedro formado a partir de três triângulos equiláteros. Analisemos cada questão para encontrarmos o que se pede.

a) O volume de um tetraedro com aresta $a=3\sqrt{2}~cm$.

Podemos calcular o volume de um tetraedro assim como uma pirâmide, utilizando a fórmula $V=\dfrac{A_b\cdot h}{3}$, tal que $A_b$ é a área da base e $h$ é a altura, que calcularemos a partir do Teorema de Pitágoras.

Observe na imagem: a projeção ortogonal do vértice na base define a altura. O ponto em que ela toca são as coordenadas do apótema. No triângulo definido pelo apótema e metade da aresta, temos uma hipotenusa.

Esta hipotenusa será utilizada como cateto do triângulo formado pela altura e uma das arestas laterais do tetraedro.

O ângulo definido é $60\º$, visto que o apótema equivale à distância do centro da circunferência que inscreve o triângulo equilátero até sua base. Teremos então

$\sin(60\º)=\dfrac{\left(\dfrac{a}{2}\right)}{h_{ip}}$

Sabendo que $\sin(60\º)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, temos

$\dfrac{a}{2h_{ip}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ e portanto,

$h_{ip}=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$

Como dito anteriormente, utilizando teorema de Pitágoras, temos que

$a^2=h^2+{h_{ip}}^2$

Substituindo o valor da hipotenusa, temos

$a^2=h^2+\left(\dfrac{a}{\sqrt{3}}\right)^2$

Calculando a potência, temos

$a^2=h^2+\dfrac{a^2}{3}$

Isolando $h^2$

$h^2=a^2-\dfrac{a^2}{3}$

Somando as frações

$h^2=\dfrac{3a^2-a^2}{3}\\\\\\ h^2=\dfrac{2a^2}{3}$

Retire a raiz em ambos os lados

$h=\sqrt{\dfrac{2a^2}{3}}\\\\\\ h=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$

A área do triângulo equilátero pode ser calculada de forma semelhante. Como seus lados medem $a$, sua área será igual a $\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Então, o volume é dado por:

$V=\dfrac{\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot\dfrac{a\sqrt{6}}{3}}{3}$

Multiplicando os valores e simplificando a fração

$V=\dfrac{a^3\cdot\sqrt{2}}{12}$

Substituindo a medida da aresta, temos

$V=\dfrac{(3\sqrt{2})^3\cdot\sqrt{2}}{12}$

Calcule a potência

$V=\dfrac{27\cdot 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{12}$

Multiplique os valores

$V=\dfrac{108}{12}$

Simplifique a fração

$V=9~cm^3$

b) O volume de um tetraedro de área total $24\sqrt{3}~cm^2$.

Sabemos que a área total de um tetraedro regular é dado pela soma da área de todas as suas faces. Visto que todas são triângulos equiláteros, temos que

$A_t=4\cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Multiplique os valores

$A_t=a^2\sqrt{3}$.

Igualando as áreas, temos que

$a^2\sqrt{3}=24\sqrt{3}$, logo

$a^2=24$

Retirando a raiz em ambos os lados, temos

$a=\sqrt{24}$

Decompondo o radicando em fatores primos, temos que $24=2^3\cdot3$, logo

$a=2\sqrt{6}$

Substituindo este valor na fórmula de volume deduzida acima, temos

$V=\dfrac{(2\sqrt{6})^3\cdot\sqrt{2}}{12}$

Calcule a potência

$V=\dfrac{8\cdot 6\sqrt{6}\cdot\sqrt{2}}{12}$

Multiplique os valores

$V=\dfrac{96\sqrt{3}}{12}$

Simplifique a fração

$V=8\sqrt{3}~cm^3$

c) A altura de um tetraedro de volume $36\sqrt{2}~cm^3$.

Igualando as fórmulas de volume, temos

$\dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}=36\sqrt{2}$

Multiplicando ambos os lados da equação por $\dfrac{12}{\sqrt{2}}$, podemos simplificar de forma que

$a^3=432$

Retirando a raiz cúbica em ambos os lados, temos que

$a=3\sqrt[3]{16}$

Substituindo este valor na fórmula da altura discutida acima, temos

$h=\dfrac{3\sqrt[3]{16}\cdot\sqrt{6}}3}$

Simplificando a fração

$h=\sqrt{6}\cdot\sqrt[3]{16}$

Transformando as bases, temos

$\LARGE{h=2^{\frac{11}{6}}\sqrt{3}}$

Esta é a altura do tetraedro.

Veja que seu volume não será $36\sqrt{2}$ se sua altura for igual a $4\sqrt{3}$, visto que

$\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=4\sqrt{3}$ e isso faria com que $a=6\sqrt{2}$

Substituindo esta medida na fórmula de volume

$V=\dfrac{(6\sqrt{2})^3\cdot\sqrt{2}}{12}=72$.

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

a)

$\sf V=\dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}$

$\sf V=\dfrac{(3\sqrt{2})^3\cdot\sqrt{2}}{12}$

$\sf V=\dfrac{27\cdot2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{12}$

$\sf V=\dfrac{27\cdot2\cdot2}{12}$

$\sf V=\dfrac{108}{12}$

$\sf \red{V=9~cm^3}$

b)

• Aresta

$\sf A_{total}=a^2\sqrt{3}$

$\sf a^2\sqrt{3}=24\sqrt{3}$

$\sf a^2=\dfrac{24\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$\sf a^2=24$

$\sf a=\sqrt{24}$

$\sf a=2\sqrt{6}~cm$

• Volume

$\sf V=\dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}$

$\sf V=\dfrac{(2\sqrt{6})^3\cdot\sqrt{2}}{12}$

$\sf V=\dfrac{8\cdot6\sqrt{6}\cdot\sqrt{2}}{12}$

$\sf V=\dfrac{8\cdot6\cdot\sqrt{12}}{12}$

$\sf V=\dfrac{8\cdot6\cdot2\sqrt{3}}{12}$

$\sf V=\dfrac{96\sqrt{3}}{12}$

$\sf \red{V=8\sqrt{3}~cm^3}$

c)

• Aresta

$\sf V=\dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}$

$\sf \dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}=36\sqrt{2}$

$\sf a^3\sqrt{2}=12\cdot36\sqrt{2}$

$\sf a^3\sqrt{2}=432\sqrt{2}$

$\sf a^3=\dfrac{432\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$\sf a^3=432$

$\sf a=\sqrt[3]{432}$

$\sf a=6\sqrt[3]{2}~cm$

• Altura

$\sf h=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$

$\sf h=\dfrac{6\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt{6}}{3}$

$\sf h=\dfrac{6\sqrt[6]{4}\cdot\sqrt[6]{216}}{3}$

$\sf h=\dfrac{6\sqrt[6]{864}}{3}$

$\sf \red{h=2\sqrt[6]{864}~cm}$