Question

calcule
á raiz dá equação x3+5x+18=0​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{S=\{x\in\mathbb{C}~|~x=(1-2\sqrt{2}i,~1+2\sqrt{2}i,~-2)\}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para encontrarmos as raízes da equação $x^3+5x+18=0$, utilizaremos o Teorema das raízes racionais e o Algoritmo prático de Briot-Ruffini.

Sejam a equação polinomial de grau $n$ de coeficientes reais:

$a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\cdots+a_0=0$

O teorema das raízes diz que ao encontrarmos a razão entre os divisores do termo independente e o termo dominante e utilizarmos o algoritmo de Briot-Ruffini, encontraremos um polinômio de grau $n-1$ que sua solução são o restante das raízes.

Temos a equação: $x^3+5x+18=0$

Observe que o termo independente é $a_0=18$ e o termo dominante é $a_n=1$.

Os divisores do termo independente são $\{\pm1,~\pm2,~\pm3,~\pm6,~\pm9\,~\pm18\}$, enquanto o divisor do termo dominante é $\{\pm1\}$. A razão entre eles é o próprio conjunto dos divisores do termo independente.

Dispomos os coeficientes da equação no algoritmo da seguinte maneira, lembrando que os termos que não aparecem têm coeficiente zero:

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~~~1~~~~0~~~~5~~~~18}}\\~~~~1~~|~~~~1\\-1~~|~~~~1\\~~~~2~~|~~~~1\\-2~~|~~~~1$

Utilizando os primeiro quatro valores, afirmamos que os valores são raízes quando o resultado ao final do processo for igual a zero. Consiste em multiplicar o primeiro coeficiente pelo valor e somar ao próximo, pondo o resultado logo abaixo.

Multiplique os valores pelo primeiro coeficiente e some ao próximo:

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~~~1~~~~0~~~~5~~~~18}}\\~~~~1~~|~~~~1~~~~1~~~~6~~~~24\\-1~~|~~~~1~-1~~~~6~~~~12\\~~~~2~~|~~~~1~~~~2~~~~9~~~~36\\-2~~|~~~~\boxed{1~-2~~~~9}~~~~0$

Observe que $-2$ é raiz desta equação. Os termos destacados serão coeficientes do polinômio de grau 2 que tem como solução as outras raízes:

$x^2-2x+9=0$

Para resolvê-lo, utilizamos a fórmula resolutiva, dada por $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$, tal que $a$. $b$ e  $c$ são os coeficientes da equação quadrática e $a\neq0$. Ficaremos com:

$x=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot 9}}{2\cdot 1}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$x=\dfrac{2\pm\sqrt{4-36}}{2}$

Some os valores no radicando

$x=\dfrac{2\pm\sqrt{-32}}{2}$

Aplicando a propriedade de radicais, sabemos que $\sqrt{m\cdot n}=\sqrt{m}\cdot\sqrt{n}$, logo

$x=\dfrac{2\pm\sqrt{32}\cdot\sqrt{-1}}{2}$

Para calcularmos $\sqrt{32}$, decompomos o radicando em fatores primos. Temos que $32=2^5$, logo

$x=\dfrac{2\pm2^2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{-1}}{2}$

Calcule a potência e substitua $\sqrt{-1}=i$, tal que $i$ é a unidade imaginária.

$x=\dfrac{2\pm4\sqrt{2}i}{2}$

Separe as soluções

$x=\dfrac{2-4\sqrt{2}i}{2}~~~\mathtt{ou}~~~x=\dfrac{2+4\sqrt{2}i}{2}$

Simplifique as frações

$x=1-2\sqrt{2}i~~~\mathtt{ou}~~~x=1+2\sqrt{2}i$

O conjunto solução desta equação é:

$S=\{x\in\mathbb{C}~|~x=(1-2\sqrt{2}i,~1+2\sqrt{2}i,~-2)\}$