8. Considere um quadrado de lado L. Ao unir os pontos médios dos lados, constrói-se um segundo quadrado. Repetindo-se essa construção a partir do segundo quadrado sucessivamente, obtêm-se infinitos quadrados. A soma das áreas dos quadrados construídos é igual a:
2L²
L²
0,75L²
1,5 L²
Respostas
Resposta:
L²
Explicação passo-a-passo:
Acredito que a área será a do quadrado maior, pois todos os outros estão inseridos nesse, portanto, lado x altura:
L x L = L²
A soma das áreas dos quadrados construídos é igual a L², alternativa B.
Progressão geométrica
Uma progressão geométrica é caracterizada por uma sequência de valores crescentes, decrescentes ou alternados, onde a razão entre um valor e seu antecessor é sempre constante. O termo geral da P.G. é dado por aₙ = a₁·qⁿ⁻¹.
A área de um quadrado é dada pela medida do lado ao quadrado:
A = L²
Ao unir os pontos médios para formar o próximo quadrado, cada lado terá medida dada pelo teorema de Pitágoras conforme a imagem:
x² = (L/2)² + (L/2)²
x² = 2·L²/4
x² = L²/2
Seja x a medida do lado, x² é a área do novo quadrado. A razão entre essas áreas é:
x²/A = (L²/2)/L²
x²/A = 1/2
Portanto, cada quadrado subsequente terá a meta da área do anterior formando uma PG de razão 1/2. A soma das áreas dos quadrados construídos será a soma dos infinitos termos dessa PG:
S = a₁/(1 - q)
Sendo a₁ = L²/2 e q = 1/2, temos:
S = (L²/2)/(1 - 1/2)
S = (L²/2)/(1/2)
S = L²
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#SPJ2
