Question

Mostre por indução que n! > 2^n, ∀ n ≥ 4.​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Olá!

Caso base:

$4!=24$ e $2^4=16$. Portanto, é verdade para $n=4$.

Hipótese de indução:

Suponha que $k!>2^k$ para qualquer $k\ge 4$.

Passo de indução:

Precisamos mostrar que $(k+1)!> 2^{k+1}=2^k 2^1=2^k+2^k$

$(k+1)!=(k+1)k!=kk!+k!$

Valendo-se da hipótese de indução:

$k\cdot k!+k!>k\cdot 2^k+2^k\ge 4\cdot 2^k+2^k>1\cdot 2^k+2^k=2\cdot 2^k=2^{k+1}$

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$(k+1)!>2^{k+1}$ C.Q.D.