Question

Calcule o perímetro do triângulo de vértices A, B e C, em cada caso :

a) A(0,0), B(-4,0) e C(0,-3) b) A(1,2), B(2,1) e C(3,-1) c) A(0,-1), B(-2,1) e C(1,0)​

Answer 1

Resposta:

a) 12

b) √2+√5+√13

c) 3√2+√10

Explicação passo-a-passo:

a)

Para facilitar no cálculo, você pode plotar os pontos A, B e C de cada item num gráfico bidimensional x×y.

No primeiro item, temos os pontos A(0, 0); B(-4, 0); C(0, - 3).

Com isso, sabemos que o ponto A é um vértice de origem (0, 0). Portanto significa que ele está entre o cruzamentos do eixo das ordenadas e abcissas.

Seguindo para o ponto B, temos de que ele está no ponto - 4 em relação ao eixo x e sem nenhum deslocamento em relação ao eixo y. O ponto C não tem deslocino eixo x mas tem um deslocamento para - 3 no eixo y.

Agora vamos calcular a distância entres os pontos A e B, depois a distância entre os pontos A e C e por fim a distância entre os pontos B e C. Assim conseguimos achar todos os lados desse triângulo.

Seguindo a fórmula da distância entre dois pontos, temos o seguinte:

$d(A, B) = \sqrt{(x - x')^{2} + (y - y')^{2} }$

Para A(x, y) e B(x', y')

Agora vamos aos cálculos:

A(0, 0)

B(- 4, 0)

C(0, - 3)

$d(A, B) = \sqrt{(0 - ( - 4))^{2} + (0 - 0) ^{2} } \\ \sqrt{ {4}^{2} + 0^{2} } = \\ \sqrt{ {4}^{2} } = { {4}^{2} }^{ \frac{1}{2} } = 4$

Portanto d(A, B)=4

$d(A, C) = \sqrt{(0 - 0)^{2} + (0 - ( - 3) ^{2} } = \\ \sqrt{ {0}^{2} + {3}^{2} } = \sqrt{ {3}^{2} } = { {3}^{2} }^{ \frac{1}{2} } = 3$

Portanto d(A, C)=3

$d(B, C) = \sqrt{( - 4 - 0)^{2} + (0 - ( - 3) ^{2} } = \\ \sqrt{ {( - 4)}^{2} + {3}^{2} } = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} \\ = \sqrt{ {5}^{2} } = { {5}^{2} }^{ \frac{1}{2} } = 5$

Portanto d(B, C)=5

Agora já sabemos quanto valem os lados do triângulo do item a)

d(A, B) = 4

d(A, C) = 3

d(B, C) = 5

Agira como ele pede o Perímetro, que é a soma de todos os lados, basta somar os resultados:

$d(A, B) + d(A, C) + d(B, C) = 4 + 3 + 5 = 12$

b)

Agora vamos fazer novamente tudo, porém com os valores dos itens b e c.

A(1, 2)

B(2, 1)

C(3, - 1)

$d(A, B) = \sqrt{(1 - 2)^{2} + (2 - 1)^{2} } = \\ = \sqrt{ {( - 1)}^{2} + {1}^{2} } = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

Portanto d(A, B)=√2

$d(A, C) = \sqrt{(1 - 3)^{2} + (2 - ( - 1) ^{2} } = \\ = \sqrt{( - 2)^{2} + {3}^{2} } = \\ = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

Portanto d(A, C)=√13

$d(B, C) = \sqrt{(2 - 3)^{2} + (1 - ( - 1) ^{2} } = \sqrt{( - 1) ^{2} + 2 ^{2} } = \\ = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

Portanto d(B, C)=√5

Perímetro:

$d(A, B) + d(A, C) + d(B, C) = \sqrt{2} + \sqrt{13} + \sqrt{5}$

c)

A(0, - 1)

B( -2, 1)

C(1, 0)

$d(A, B) = \sqrt{(0 - ( - 2) ^{2} + ( - 1 - 1) ^{2} } = \\ = \sqrt{ {2}^{2} + ( - 2) ^{2} } = \\ = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = \sqrt{2 \times {2}^{2} } = \\ = \sqrt{ {2}^{2} } \times \sqrt{2} = \\ = { {2}^{2} }^{ \frac{1}{2} } \times \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$

Portanto d(A, B)=2√2

$d(A, C) = \sqrt{(0 - 1) ^{2} + ( - 1 - 0) ^{2} } = \\ = \sqrt{( - 1) ^{2} + ( - 1) ^{2} } = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

Portanto d(A, C)=√2

$d(B, C) = \sqrt{( - 2 - 1) ^{2} + ( 1 - 0) ^{2} } = \\ = \sqrt{( - 3)^{2} + {1}^{2} } = \\ = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10 }$

Portanto d(B, C)=√10

O Perímetro:

$d(A, B) + d(A, C) + d(B, C) = 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{10} = \\ = 3 \sqrt{2} + \sqrt{10}$