Question

verifique se os pontos De (4,3) e (2,4) e F (5,-1) estão alinhados​

Answer 1

Olá, boa noite.

Para verificarmos se os pontos estão alinhados, utilizaremos matrizes.

De acordo com a condição de alinhamento de três pontos, para que os pontos $(x_1,~y_1)$, $(x_2,~y_2)$ e $(x_3,~y_3)$ estejam alinhados, o determinante da matriz formada pelas coordenadas destes pontos da seguinte maneira deve ser igual a zero:

$\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\\\end{vmatrix}=0$

Então, sejam os pontos $D~(4,~3)$, $E~(2,~4)$ e $F~(5,~-1)$.

Substituindo suas coordenadas no determinante, temos:

$\begin{vmatrix}4&3&1\\2&4&1\\5&-1&1\\\end{vmatrix}=0$

Para calcularmos este determinante, utilizamos a Regra de Sarrus. Consiste em replicarmos as duas primeiras colunas à direita do determinante e encontrarmos a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas, temos:

$\left|\begin{matrix}4 & 3&1 \\ 2&4 &1 \\ 5& -1 & 1\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}4 &3 \\ 2 & 4\\ 5 &-1 \end{matrix}\right.~=0$

Aplique a regra de Sarrus:

$4\cdot 4\cdot 1+3\cdot1\cdot5+1\cdot2\cdot(-1)-(3\cdot2\cdot1+4\cdot1\cdot(-1)+1\cdot4\cdot5)=0$

Multiplique os valores

$16+15-2-6+4-20=0$

Some os valores

$7=0$

Como podemos ver, o lado esquerdo da igualdade é diferente do lado direito. Isto implica que os pontos D, E e F não estão alinhados.

Observe o gráfico em anexo: Os pontos D, E e F estão localizados no plano cartesiano e não existe uma reta que contenha os três pontos simultaneamente.

Answer 2

Resposta:

$det\left[\begin{array}{ccc}4&3&1\\2&4&1\\5&-1&1\end{array}\right] = 29-22\\\\\\det\left[\begin{array}{ccc}4&3&1\\2&4&1\\5&-1&1\end{array}\right] = 7 \ne 0\\\\\\\text{Portanto os pontos n\~ao s\~ao colineares}$

Explicação passo-a-passo:

Para verificar com contas se 3 pontos estão alinhados usamos a seguinte conta envolvendo determinante de matriz:

$det\left[\begin{array}{ccc}x_a&y_a&1\\x_b&y_b&1\\x_c&y_c&1\end{array}\right] =0\\\\\text{ent\~ao os pontos s\~ao colineares}$

Podemos resolver a matriz 3x3 usando vários métodos o mais famoso é a regra de Sarrus, vamos colocar os pontos na matriz e fazer seu determinante:

$det\left[\begin{array}{ccc}4&3&1\\2&4&1\\5&-1&1\end{array}\right] =0$

Vamos aplicar a regra:

$\text{Diagonal principal: }\\\\4.4.1+3.1.5+1.2.(-1)\\\\\text{Diagonal secund\'aria: }\\\\5.4.1+4.1.(-1)+1.3.2$

Fazendo as contas:

$\text{Diagonal principal: }\\\\16+15-2 = 29\\\\\text{Diagonal secund\'aria: }\\\\20-4+6 = 22$

Portanto o determinante da matriz é:

$det\left[\begin{array}{ccc}4&3&1\\2&4&1\\5&-1&1\end{array}\right] = 29-22\\\\\\det\left[\begin{array}{ccc}4&3&1\\2&4&1\\5&-1&1\end{array}\right] = 7 \ne 0\\\\\\\text{Portanto os pontos n\~ao s\~ao colineares}$

Qualquer dúvida respondo nos comentários