Question

matemática


calcule (1-i)⁸
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Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{(1-i)^8=16}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos $(1-i)^8$, utilizaremos a Fórmula de De Moivre para a potenciação de números complexos.

Considere o número complexo $w=a+bi$, tal que $a$ e $b$ são números reais e respectivamente, as partes real e imaginária do número.

Podemos escrever o número na forma trigonométrica:

$w=|w|\cdot(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$, tal que $|w|=\sqrt{a^2+b^2}$ e  $\theta=\arg(w)=\arctan\left(\dfrac{b}{a}\right)$.

A partir da fórmula para a multiplicação de números complexos, observa-se que

$w_1\cdot w_2\cdots=|w_1|\cdot |w_2|\cdots(\cos(\theta_1+\theta_2+\cdots)+i\sin(\theta_1+\theta_2+\cdots))$

Como se trata de um produto e todos os fatores são iguais, temos:

$\underbrace{w\cdot w\cdots}_{n~vezes}=\underbrace{|w|\cdot|w|\cdots}_{n~vezes}(\cos(\underbrace{\theta+\theta+\cdots}_{n~vezes})+i\sin(\underbrace{\theta+\theta+\cdots}_{n~vezes}))$

Pelas propriedades de soma e produto, temos

$w^n=|w|^n\cdot(\cos(n\cdot\theta)+i\sin(n\cdot \theta))$

Então, temos o complexo $z=1-i$ e queremos encontrar o valor de $z^8$.

O módulo de $z$ será $|z| = \sqrt{1^2+(-1)^2}$

Calcule as potências

$|z| = \sqrt{1+1}$

Some os valores

$|z| = \sqrt{2}$

O argumento de $z$ será $\theta=\arctan\left(\dfrac{-1}{1}\right)=\arctan(-1)=-\arctan(1)=-\dfrac{\pi}{4}$

A forma trigonométrica de $z$ é:

$z=\sqrt{2}\cdot\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)$

Aplicando a fórmula de De Moivre, teremos:

$z^8={\sqrt{2}}^8\cdot\left(\cos\left(8\cdot\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)+i\sin\left(8\cdot\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)\right)$

Calcule a potência e multiplique os valores

$z^8=16\cdot\left(\cos(-2\pi)+i\sin(-2\pi))$

Sabendo que a paridade das funções cosseno e seno são, respectivamente, par e ímpar, teremos que:

$z^8=16\cdot\left(\cos(2\pi)-i\sin(2\pi))$

De acordo com o que foi estudado no círculo trigonométrico, sabemos que $\cos(2\pi)=1$ e $\sin(2\pi)=0$, logo:

$z^8=16\cdot\left(1-i\cdot 0)$

Multiplicando os valores, por fim, teremos:

$(1-i)^8=16~~\checkmark$