Question

Seja f(x) = lnx. Utilizando um polinômio de Taylor de ordem 2 em volta de x₀ = 1, podemos calcular um valor aproximado para ln 1,05. Exe valor aproximado é:

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{a)~0.04875}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar a fórmula do polinômio de Taylor de ordem 2.

Dada uma função diferenciável ao redor do ponto $x_0$, o polinômio de ordem 2 será:

$P_2(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)+\dfrac{f''(x)}{2}\cdot (x-x_0)^2$, tal que $f'(x)$ é a derivada primeira da função e $f''(x)$ é a derivada segunda.

Logo, seja $f(x)=\ln x$. A derivada primeira da função será $f'(x)=\dfrac{d}{dx}( \ln x)=\dfrac{1}{x}$.

A derivada segunda pode ser calculada a partir da primeira, sabendo que $\underbrace{\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{d}{dx}\cdots\right)}_{n~vezes}=\dfrac{d^n}{dx^n}$

Dessa forma, teremos $f''(x)=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x}\right)$. Para calcularmos esta derivada, basta utilizarmos a regra do quociente:

$f''(x)=\dfrac{1'\cdot x-x'\cdot 1}{x^2}$

Lembrando que a derivada da constante é igual a zero e a derivada da potência é dada por $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$, teremos

$f''(x)=-\dfrac{1}{x^2}$

Substituindo estes valores no polinômio, temos

$P_2(x)=\ln(x_0)+\dfrac{1}{x_0}\cdot(x-x_0)+\dfrac{\left(-\dfrac{1}{{x_0}^2}\right)}{2}\cdot (x-x_0)^2$

Calculando a fração de frações, temos

$P_2(x)=\ln(x_0)+\dfrac{1}{x_0}\cdot(x-x_0)+-\dfrac{1}{2{x_0}^2}\cdot (x-x_0)^2$

Substituindo o ponto $x_0=1$, temos

$P_2(x)=\ln(1)+\dfrac{1}{1}\cdot(x-1)+-\dfrac{1}{2\cdot 1^2}\cdot (x-1)^2$

Calculando as frações e sabendo que  $\ln1=0$, temos

$P_2(x)=x-1-\dfrac{1}{2}\cdot (x-1)^2$

Este polinômio de Taylor de ordem 2 nos dá uma aproximação para $\ln x$.

Dessa forma, para calcularmos a aproximação para $\ln 1.05$, substitua:

$P_2(1.05)=1.05-1-\dfrac{1}{2}\cdot(1.05-1)^2$

Some os valores

$P_2(1.05)=0.05-\dfrac{1}{2}\cdot(0.05)^2$

Calcule a potência

$P_2(1.05)=0.05-\dfrac{1}{2}\cdot0.0025$

Multiplique e simplifique a fração

$P_2(1.05)=0.05-0.00125$

Some os valores

$P_2(1.05)=0.04875$

Esta é uma aproximação para $\ln(1.05)$ utilizando este polinômio de Taylor de ordem 2 e é a resposta contida na letra a).

Observe em anexo: O comportamento do gráfico da função $f(x)=\ln x$ e o polinômio de Taylor ao redor do ponto 1.