Question

∭R sin( x+y +z ) , Onde R= [0,π ] × [0,π ] × [0,π ]

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{-8}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos a seguinte integral tripla, devemos relembrar algumas técnicas de integração e propriedades da soma de arcos.

$\displaystyle{\int\int\int_R\sin(x+y+z)~dV$, tal que $R=[0,~\pi]\times[0,~\pi]\times[0,~\pi]$

De acordo com o Teorema de Fubini para integrais iteradas, deve-se respeitar uma ordem de integração a depender do comportamento das variáveis num dado intervalo.

Como podemos ver, todas as variáveis estão definidas em um intervalo de dois valores numéricos, logo a ordem de integração não altera o valor final.

Então seja $dV=dz\, dy\,dx$, logo nossa integral se torna

$\displaystyle{\int_0^{\pi}\int_0^{\pi}\int_0^{\pi}\sin(x+y+z)~\,dz\,dy\,dx$

Para calcularmos a integral mais interna, utilize a fórmula de soma de arcos: $\sin(a\pm b)=\sin(a)\cos(b)\pm \sin(b)\cos(a)$, fazendo $\sin((x+y)+z)$, de forma que:

$\displaystyle{\int_0^{\pi}\int_0^{\pi}\int_0^{\pi}\sin(x+y)\cos(z)+\sin(z)\cos(x+y)~\,dz\,dy\,dx$

Sabendo que a integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções, temos

$\displaystyle{\int_0^{\pi}\int_0^{\pi}\left(\int_0^{\pi}\sin(x+y)\cos(z)\,dz+\int_0^{\pi}\sin(z)\cos(x+y)\,dz\right)~\,dy\,dx$

Considerando que estas integrais estão definidas para a variável $z$, assumimos $\sin(x+y)$ e $\cos(x+y)$ como constantes e aplicamos a propriedade $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx}$

$\displaystyle{\int_0^{\pi}\int_0^{\pi}\left(\sin(x+y)\int_0^{\pi}\cos(z)\,dz+\cos(x+y)\int_0^{\pi}\sin(z)\,dz\right)~\,dy\,dx$

Sabendo que $\displaystyle{\int \sin(x)\,dx=-\cos(x)$ e $\displaystyle{\int \cos(x)\,dx=\sin(x)$, temos

$\displaystyle{\int_0^{\pi}\int_0^{\pi}\left(\sin(x+y)\cdot\sin(z)~\biggr|_0^{\pi}+\cos(x+y)\cdot (-\cos(z))~\biggr|_0^{\pi}\right)~\,dy\,dx$

Sabendo que $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, temos

$\displaystyle{\int_0^{\pi}\int_0^{\pi}\sin(x+y)\cdot(\sin(\pi)-\sin(0))+\cos(x+y)\cdot (-\cos(\pi)-(-\cos(0)))~\,dy\,dx$

Sabendo que $\sin(\pi)=0$, $\sin(0)=0$, $\cos(\pi)=-1$ e $\cos(0)=1$, temos

$\displaystyle{\int_0^{\pi}\int_0^{\pi}\sin(x+y)\cdot(0-0)+\cos(x+y)\cdot (-(-1)-(-1))~\,dy\,dx$

Some e multiplique os valores

$\displaystyle{\int_0^{\pi}\int_0^{\pi}2\cos(x+y)~\,dy\,dx$

Aplique a propriedade da constante

$\displaystyle{2\cdot\int_0^{\pi}\int_0^{\pi}\cos(x+y)~\,dy\,dx$

Aplique a fórmula de soma de arcos para o cosseno: $\cos(a\pm b)=\cos(a)\cos(b)\mp \sin(a)\sin(b)$

$\displaystyle{2\cdot\int_0^{\pi}\int_0^{\pi}\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)~\,dy\,dx$

Aplique a propriedade da soma discutida anteriormente

$\displaystyle{2\cdot\int_0^{\pi}\left(\int_0^{\pi}\cos(x)\cos(y)\,dy-\int_0^{\pi}\sin(x)\sin(y)~\,dy\right)\,dx$

Considerando que estas integrais estão definidas para a variável $y$, assumimos $\cos(x)$ e $\sin(x)$ como constantes e aplicamos a propriedade da constante

$\displaystyle{2\cdot\int_0^{\pi}\left(\cos(x)\int_0^{\pi}\cos(y)\,dy-\sin(x)\int_0^{\pi}\sin(y)~\,dy\right)\,dx$

Da mesma forma, calcule as integrais das funções cosseno e seno

$\displaystyle{2\cdot\int_0^{\pi}\left(\cos(x)\cdot\sin(y)~\biggr|_0^{\pi}-\sin(x)\cdot(-\cos(y))~\biggr|_0^{\pi}\right)\,dx$

Aplicando a propriedade de integrais definidas novamente

$\displaystyle{2\cdot\int_0^{\pi}\cos(x)\cdot(\sin(\pi)-\sin(0))-\sin(x)\cdot(-\cos(\pi)-(-\cos(0)))\,dx$

Calculando os valores, tal como anteriormente

$\displaystyle{2\cdot\int_0^{\pi}\cos(x)\cdot(0-0)-\sin(x)\cdot(-(-1)-(-1))\,dx$

$\displaystyle{2\cdot\int_0^{\pi}-2\sin(x)\,dx$

Aplique a regra da constante

$\displaystyle{-4\cdot\int_0^{\pi}\sin(x)\,dx$

Calcule a integral da função seno

$-4\cdot(-\cos(x))~\biggr|_0^{\pi}$

Aplique os limites de integração

$-4\cdot(-\cos(\pi)-(-\cos(0)))$

Calcule os valores

$-4\cdot(-(-1)-(-1))\\\\\\ -4\cdot 2\\\\\\ -8~~\checkmark$

Este é o resultado desta integral tripla.