Question

Seja o número complexo z = 10 + 10i, no qual i = √- 1. A forma trigonométrica que representa esse número é:

Answer 1

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módulo de um número

complexo

$\sf{\rho=\sqrt{a^2+b^2}}$

argumento de um número complexo

$\sf{\acute{e}~o~\hat{a}ngulo~\theta~tal~que}\\\large\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf{cos(\theta)=\dfrac{a}{\rho}~~sen(\theta)=\dfrac{b}{\rho}}}}}}$

Forma trigonométrica de um

número complexo

$\large\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf{Z=\rho\left[cos(\theta)+i~sen(\theta)\right]}}}}}$

$\dotfill$

$\sf{z=10+10i}\\\sf{\rho=\sqrt{10^2+10^2}=\sqrt{2\cdot10^{\diagup\!\!\!\!2}}=10\sqrt{2}}\\\sf{cos(\theta)=\dfrac{\diagdown\!\!\!\!\!10}{\diagdown\!\!\!\!\!10\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\\\sf{sen(\theta)=\dfrac{10}{10\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\\\sf{\theta=45^{\circ}}$

$\large\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf{z=10\sqrt{2}\left[cos(45^{\circ})+i~sen(45^{\circ})\right]}}}}}$

Answer 2

Com a definição de forma trigonométrica de um número complexo, temos como alternativa correta:

• e)10√2(cos 45° + i.sen45°)

Forma trigonométrica de um número complexo

Com exceção de 0, qualquer número complexo pode ser representado na forma trigonométrica ou em coordenadas polares:

$z = r(\cos \alpha + i\cdot \sin \alpha ),$

Seja z = a + ib um número complexo. Definimos o módulo ou o valor absoluto de z como sendo o número real √(a² + b²) e o denotamos por |z|. Observemos que |z| > 0 ∀ z ∈ C.

Se z = x + iy então:

$\begin{array}{l}\sqrt{x+iy}=\left\{ \begin{matrix} \pm \left[ \sqrt{\dfrac{|z|+x}{2}}+i\sqrt{\dfrac{|z|-x}{2}} \right]if\,y\, > \,0 \\ \pm \left[ \sqrt{\dfrac{|z|+x}{2}}-i\sqrt{\dfrac{|z|-x}{2}} \right]if\,y\, < \,0 \\ \end{matrix} \right.\end{array}$

Onde |x| = $\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\,\end{array}$

Observação:

• $\begin{array}{l}\sqrt{x+iy}+\sqrt{x-iy}=\sqrt{2|z|+2x}\end{array}$

• $\begin{array}{l}\sqrt{x+iy}-\sqrt{x-iy}=i\sqrt{2|z|-2x}\end{array}$

• $\begin{array}{l}\sqrt{i}=\pm \left( \dfrac{1+i}{\sqrt{2}} \right)\,e\,\sqrt{-i}=\pm \left( \dfrac{1-i}{\sqrt{2}} \right)\end{array}$

Sendo assim podemos resolver o exercício.

$\mathrm{Para\:converter\:coordenadas\:cartesianas\:}\left(x,\:y\right)\mathrm{\:em\:coordenadas\:polares\:}\left(r,\:\theta \right)\mathrm{\:aplicar:}$

$r=\sqrt{x^2+y^2}\quad \theta =\arctan \left(\dfrac{y}{x}\right)$

$r=\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt{2}$

$\theta =\arctan \left(\frac{y}{x}\right)\\\\\theta=\arctan \left(\frac{10}{10}\right)=\dfrac{\pi }{4}$

$\mathrm{As\:coordenadas\:polares\:de}\:\left(10,\:10\right):\\\\\left(10\sqrt{2},\:\dfrac{\pi }{4}\right)$

Saiba mais sobre números complexos: https://brainly.com.br/tarefa/22693420

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