Question

Na trigonometria temos que, se a e b são números reais quaisquer, valem as fórmulas
sen(a + b) = sena.cosb + senb.cosa e cos(a + b) = cosa.cosb - sena.senb que podem ser utilizadas para determinar valores exatos de senos e cossenos de ângulos não notáveis.
Diante do exposto, o valor de sen 105º + cos 105º é igual a:
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Answer 1

Resposta:

sen(105°) + cos(105°) = √2/2

Explicação passo-a-passo:

Consideremos as fórmulas de soma de arcos apresentadas no enunciado.

(I) sen(a+b) = sen(a) . cos(b) + sen(b) . cos(a)

(II) cos(a+b) = cos(a) . cos(b) - sen(a) . sen(b)

Sabemos que 105° = 90° + (15°) = 90° + (45° - 30°).

Apliquemos (I) para a primeira parcela da soma.

sen(105°) = sen(90° + (45° - 30°)) →

sen(105°) = sen(90°) . cos(45° - 30°) + sen(45° - 30°) . cos 90° →

sen(105°) = 1.cos(45° - 30°) + 0 = cos(45° - 30°)

sen(105°) = cos(45° - 30°)

Apliquemos, agora, (II) na segunda parcela da soma.

cos(105°) = cos(90° + (45° - 30°)) = cos(90°) . cos(45° - 30°) - sen(90°) . sen(45° - 30°) →

cos(105°) = 0 - 1.sen(45° - 30°) →

cos(105°) = -sen(45° - 30°)

Com os resultados obtidos e supondo sen(105°) + cos(105°) = A, temos:

A = sen(105°) + cos(105°)

A = cos(45° - 30°) - sen(45° - 30°)

A = cos(45°) . cos(30°) + sen(45°) . sen(30°) - [sen(45°) . cos(30°) - sen(30°) . cos(45°)]

A = cos(45°) . cos(30°) + sen(45°) . sen(30°) - sen(45°) . cos(30°) + sen(30°) . cos(45°)

A = √2/2 . √3/2 + √2/2 . 1/2 - √2/2 . √3/2 + 1/2 . √2/2 →

A = √6/4 + √2/4 - √6/4 + √2/4

A = 2 . √2/4 = √2/2

Portanto, a soma sen(105°) + cos(105°) vale √2/2 .

Answer 2

O valor de sen 105° + cos 105° é igual a √2/2.

Essa questão é sobre funções trigonométricas. As funções trigonométricas são obtidas a partir do circulo trigonométrico e são periódicas.

Das propriedades trigonométricas, temos que:

sen(a + b) = sen a·cos b + sen b·cos a

cos(a + b) = cos a·cos b - sen a·sen b

Queremos descobrir os valores de sen 105° e cos 105°, então podemos escrever 105° como a soma 60° + 45°:

sen(105°) = sen(60° + 45°) = sen 60°·cos 45° + sen 45°·cos 60°

sen(105°) = √3/2 · √2/2 + √2/2 · 1/2

sen(105°) = √6/4 + √2/4

cos(105°) = cos(60° + 45°) = cos60°·cos 45° - sen 45°·sen 60°

cos(105°) = 1/2 · √2/2 - √2/2 · √3/2

cos(105°) = √2/4 - √6/4

Somando estes valores:

sen(105°) + cos(105°) = √6/4 + √2/4 + √2/4 - √6/4

sen(105°) + cos(105°) = √2/2

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