Question

Verificar se a função abaixo é contínua:

f(x) = x² se x ≤ 0
f(x) = 1 + x² se x > 0

Answer 1

Temos que:

$\sf f(x) = \begin{cases} \sf x {}^{2} \: \: se \: \: x \leqslant 0 \\ \sf 1 + x {}^{2} \: \: se \: \: x > 0 \end{cases}$

Para uma função ser contínua, ela deve obedecer três quesitos que são:

$\boxed{\sf 1) \: f(x) \rightarrow definida} \: \: \: \: \: \: \boxed{\sf 2)\lim_{x\rightarrow a {}^{ + } }f(x) = \lim_{x\rightarrow a {}^{ - } }f(x) }\: \: \: \: \: \boxed{ \sf 3)\lim_{x\rightarrow a}f(x) = f(x) }$

• 1) A função deve ser definida no tal ponto que tá sendo estudado, ou seja, no nosso caso é "0".

• 2) Os limites laterais devem ser iguais, pois só existirá o limite bilateral se os laterais forem iguais.

• 3) O valor do limite bilateral deve ser igual ao valor da função definida.

Sabendo da teoria, vamos partir para os cálculos seguindo a ordem das restrições.

« Restrição 1»:

$\sf f(0) = x {}^{2} \longleftrightarrow f(0) = 0 {}^{2} \longleftrightarrow f(0) = 0$

A função é sim definida, basta você observar as restrições x² se x ≤ 0, o sinal de menor ou IGUAL, indica que é definida.

« Restrição 2»:

$\sf \lim_{x\rightarrow 0{}^{ + } } f(x) = \lim_{x\rightarrow 0 {}^{ - } }f(x)$

Para o limite de "x" tendendo a direita de "0", ou seja, valores maiores que "0", devemos usar a função 1 + x², já para o "x" tendendo a esquerda de "0", ou seja, valores menores que "0", devemos usar a função x², então:

$\sf \lim_{x\rightarrow 0 {}^{ + } }1 + x {}^{2} = \lim_{x\rightarrow 0 {}^{ - } }x {}^{2} \\ \sf \lim_{x\rightarrow 0 {}^{ + } }1 + 0 = \lim_{x\rightarrow 0 {}^{ - } }0 {}^{2} \\ \boxed{\sf 1 = 0}$

Como o valor dos limites laterais não são iguais, isso ocasiona a descontinuidade da função, ou seja, podemos sim dizer que essa função é descontínua em x = 0.

Espero ter ajudado