Question

Considere os pontos A = (−√3, 3), B = (−√3, −1) e C = (√3, 1). (a) [1,5 ponto] Determine o ˆangulo entre os vetores AB e AC. (b) [1,0 ponto] Determine as equacoes parametricas da reta r que contem os pontos B e C. (c) [1,5 ponto] Determine a equacao cartesiana da mediatriz m do segmento BC (m contem o ponto medio M de BC e é perpendicular a ele). (d) [1,0 ponto] Determine a equa¸c˜ao cartesiana da reta r. (e) [1,5 ponto] Determine o ponto D, diferente de A, tal que d(A, M) = d(D, M) e D pertença a m. (f) [0,5 ponto] Mostre que ABDC é um paralelogramo.

Answer 1

O ângulo entre os vetores AB e AC é 60º; As equações paramétricas da reta r são (√3,1) + t(2√3,2); A equação cartesiana da mediatriz m é m: 2√3x + 2y = 0; A equação cartesiana da reta r é r: -2x + 2√3y = 0; O ponto D é D = (√3, -3).

a) Vamos determinar os vetores AB e BC. Sendo A = (-√3,3), B = (-√3,-1) e C = (√3,1), então:

AB = (-√3,-1) - (-√3,3)

AB = (0,-4)

e

AC = (√3,1) - (-√3,3)

AC = (2√3,-2).

Calculando o produto interno <AB,AC> é igual a:

<AB,AC> = 0.2√3 + (-4).(-2)

<AB,AC> = 8.

Agora, vamos calcular as normas dos vetores AB e AC:

$||AB||=\sqrt{0^2+(-4)^2}=4$

$||AC||=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+(-2)^2}=4$.

Portanto, o ângulo entre os vetores AB e AC é:

$cos(\alpha)=\frac{8}{4.4}$

$cos(\alpha)=\frac{1}{2}$

α = 60º.

b) O vetor BC é igual a:

BC = (√3,1) - (-√3,-1)

BC = (2√3,2).

Escolhendo o ponto C, temos que as equações paramétricas da reta r que contém os pontos B e C é:

{x = √3 + 2√3t

{y = 1 + 2t

com t ∈ IR.

c) Vamos determinar o ponto médio do lado BC:

$M = \frac{(-\sqrt{3},-1)+(\sqrt{3},1)}{2}=\frac{(0,0)}{2}=(0,0)$.

Se BC = (2√3,2) é paralelo à reta r, então BC é perpendicular à mediatriz. Como M = (0,0), então a equação cartesiana da mediatriz é m: 2√3x + 2y = 0.

d) Utilizando o vetor u = (-2,2√3), temos que a equação cartesiana da reta r é da forma -2x + 2√3y = c. Substituindo o ponto C = (√3,1), obtemos:

-2.√3 + 2√3.1 = c

c = 0.

Portanto, a equação cartesiana da reta r é r: -2x + 2√3y = 0.

e) De m: 2√3x + 2y = 0, podemos dizer que y = -√3x. Então, D = (x,-√3x).

A distância entre A e M é igual a:

d(A,M)² = (-√3 - 0)² + (3 - 0)²

d(A,M)² = 3 + 9

d(A,M) = √12

d(A,M) = 2√3.

Dito isso, temos que:

$2\sqrt{3}=\sqrt{(x - 0)^2 + (-\sqrt{3}x - 0)^2}$

12 = x² + 3x²

12 = 4x²

x² = 3

x = √3 ou x = -√3.

Note que x = √3, pois com x = -√3 teremos que A = D.

Portanto, o ponto D é D = (√3, -3).

f) As diagonais AC e BD se cruzam no ponto médio, que é M. Além disso, AB // CD e AC // BD. Logo, ABDC é um paralelogramo.