Question

O círculo de centro C e raio 2 tem diâmetro AB. O círculo de centro D é tangente, em A, internamente, ao primeiro círculo. Um círculo de centro E é tangente internamente ao de centro C, externamente ao de centro D e tangente à reta AB. O raio do segundo círculo é o triplo do raio do terceiro. Determine-o. a) $\sqrt{218} - 14$ b) $\sqrt{108} - 10$ c) $\sqrt{140} - 4$ d) $\sqrt{240} - 14$ e) $\sqrt{360} - 16$

Answer 1

Resposta:

Olhe a imagem

DE²=EF²+DF²

(4r)²=r²+DF² ==>DF=r√15

DF/DE=DG/DH

r√15/4r=DG/5r ==>DG=5r√15/4

HG/DG=EF/DF

HG/(5r√15/4)=r/(r√15) ==>HG=5r/4

Relações métricas triângulo retângulo h²=m*n

Triângulo AHB

h=GH=5/4

m=3r+DG=3r+5r√15/4

n=GB=AB-m=4-(3r+5r√15/4)

(5r/4)²=(3r+5r√15/4)*(4-(3r+5r√15/4))  

r=0  ou r=320√15/1249 -618/1249 ~ 0,4974817  

como queremos 3r = 1,492445 é a resposta

Answer 2

Para o entendimento desta resolução, dê uma olhada na imagem anexada. Suporemos inicialmente que λ₁ seja a tal circunferência de centro C, com diâmetro AB e raio medindo 2. Já a outra circunferência (de raio 3r) centrada em D e tangente internamente a λ₁ em A, será designada λ₂. A terceira e última circunferência (de raio r) tem centro em E, é tangente internamente a λ₁, externamente a λ₂ e à reta suporte do diâmetro de λ₁, e será chamada λ₃. Como vimos, λ₁ e λ₂ são tangentes internas; logo, a distância x entre seus centros é dada por:

$\sf x=2-3r$

Do mesmo modo, o enunciado nos informa que λ₁ e  λ₃ também são tangentes internas. Sendo assim, a distância y entre seus centros vale:

$\sf y=2-r$

Pelo fato de λ₂ e λ₃ serem tangentes externas, temos que a distância z entre seus centros é expressa por:

$\sf \qquad\quad\: z=3r+r\\ \\ \implies\ \ \ z=4r$

Agora, note que o ângulo agudo FDE = θ é tal que:

$\sf \qquad\quad\:sen\, \theta=\dfrac{r}{z}\\\\\\ \implies\ \ \ sen\,\theta=\dfrac{r}{4r}\qquad (r\neq0)\\\\\\ \implies\ \ \ sen\,\theta=\dfrac{1}{4}$

Aplicando a Relação Trigonométrica Fundamental, dada por cos²θ = 1 – sen²θ, e usando 0° < θ < 90°, obteremos:

$\sf {\qquad\quad\ \ cos^2\,\theta=1-sen^2\,\theta}\\\\ {\,\implies\ \ \ cos^2\,\theta=1-\left(\dfrac{1}{4}\right)^{\!\!2}}\\\\\\ {\iff\ \ \ cos^2\,\theta =1-\dfrac{1}{16}}\\\\\\ {\iff\ \ \ cos^2\,\theta=\dfrac{15}{16}\qquad(0^\circ<\theta<90^\circ)}\\\\\\ {\ \!\implies\ \ \ cos\,\theta=\dfrac{\sqrt{15}}{4}}$

Repare ainda que os três lados do triângulo CDE são exatamente os três segmentos de reta que ligam cada um dos centros aos demais, e cujas respectivas medidas (já conhecidas) são os valores x, y e z. Em seguida, aplicando a Lei dos Cossenos relativa ao lado CE do triângulo CDE, obtém-se a seguinte equação na incógnita r:

$\sf (2-r)^2=(4r)^2+(2-3r)^2-2\cdot 4r\cdot (2-3r)\cdot \underbrace{\sf cos\,\theta}_{\sqrt{15}/4}$

Por fim, segue a resolução da equação acima e também o valor de 3r:

$\sf \qquad\quad\:(2-r)^2=(4r)^2+(2-3r)^2-2\cdot \diagup\!\!\!\!4r\cdot (2-3r)\cdot \dfrac{\sqrt{15}}{\diagup\!\!\!\!4}\\\\\\ \iff\ \ \ 4-4r+r^2=16r^2+4-12r+9r^2-2\sqrt{15}\:\!r\,(2-3r)\\\\\\\ \iff\ \ \ 25r^2-12r-4\:\!r\sqrt{15}+6\:\!r^2\sqrt{15}=r^2-4r\\\\\\ {\!\!\iff\ \ \ 6r^{\:\!2}\big(4+\sqrt{15}\:\!\big)-4r\big(2+\sqrt{15}\:\!\big)=0\qquad(r>0)}\\\\\\ {\!\implies\ \ \ 3r\big(4+\sqrt{15}\:\!\big)=2\:\!\big(2+\sqrt{15}\:\!\big)}\\\\\\ {\!\!\iff\ \ \ 3r=2\,\cdot\,\dfrac{2+\sqrt{15}}{4+\sqrt{15}}$

$\sf {\iff\ \ \ 3r=2\,\cdot\,\dfrac{2+\sqrt{15}}{4+\sqrt{15}}\,\cdot\,\dfrac{4-\sqrt{15}}{4-\sqrt{15}}}\\\\\\\\ \sf {\iff\ \ \ 3r=2\,\cdot\, \dfrac{8-2\sqrt{15}+4\sqrt{15}-15}{16-15}}\\\\\\\ { \iff\ \ \ 3r=2\,\cdot\big(2\sqrt{15}-7\big)}\\\\ {\iff\ \ \ 3r=4\sqrt{15}-14}\\\\\ {\iff\ \ \ 3r=\sqrt{4^2\cdot 15}-14}\\\\\ {\iff\ \ \ 3r=\sqrt{16\cdot 15}-14}\\\\ {\iff\ \ \ \!\boxed{\sf 3r=\sqrt{240}-14}}$

Resposta: letra d).