Question

equacao exponencial
$5^{x2-2x} =125$

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

$5^{x^2-2x}=125\\ \\ 5^{x^{2} -2x}=5^3\\ \\ cancela~~base~~5\\ \\ x^{2} -2x=3\\ \\ x^{2} -2x-3=0$

Podemos calcular a equação do 2º grau pela fatoração

( x - 3 )( x + 1 ) =0

x - 3 = 0                  ou                  x + 1 =0

x = 3                                              x = -1

S= { -1  , 3 }

Answer 2

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{S=\{x\in\mathbb{R}~|~x=-1~ou~x=3\}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para determinarmos para quais valores de $x$ a equação exponencial $5^{x^2-2x}=125$ é satisfeita, devemos relembrar algumas propriedades.

Veja que $125=5^3$. Dessa forma, podemos reescrever nossa equação exponencial como:

$5^{x^2-2x}=5^3$

Então, visto que as bases são iguais, igualamos os expoentes. Assim, teremos a equação quadrática:

$x^2-2x=3$

Subtraia $3$ em ambos os lados da equação

$x^2-2x-3=0$

Então, lembre-se que dada uma equação quadrática completa de coeficientes reais $ax^2+bx+c=0$, tal que $a\neq0$, suas soluções são encontradas pela fórmula resolutiva: $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

Neste caso, os coeficientes são $a=1,~b=-2$ e $c=-3$. Substituindo estes valores na fórmula, teremos:

$x=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2\cdot 1}$

Calcule as potências e multiplique os valores

$x=\dfrac{2\pm\sqrt{4+12}}{2}$

Some os valores

$x=\dfrac{2\pm\sqrt{16}}{2}$

Sabendo que $16=4^2$, temos

$x=\dfrac{2\pm4}{2}$

Separe as soluções

$x=\dfrac{2-4}{2}~~~\mathtt{ou}~~x=\dfrac{2+4}{2}$

Some os valores

$x=\dfrac{-2}{2}~~~\mathtt{ou}~~x=\dfrac{6}{2}$

Simplifique as frações

$x=-1~~~\mathtt{ou}~~x=3$

Testando estas soluções em nossa equação exponencial, temos:

1. $5^{(-1)^2-2\cdot(-1)}=5^{1+2}=5^3=125~~\checkmark$.
2. $5^{3^2-2\cdot 3}=5^{9-6}=5^3=125~~\checkmark$.

Dessa forma, encontrarmos dois valores para os quais esta equação exponencial se torna verdadeira.