Question

Demonstre como se chegou a conclusão de que,

$\displaystyle\sum_{k\: =\: 0}^{n} k^2 = \red{\dfrac{n(n+1)(2n + 1)}{6}}$

NOTA: Quero saber (quais foram) as ferramentas usadas para se chegar a essa fórmula fechada, sendo assim, SOLICITO QUE NÃO RESPONDA por procedimentos como a indução finita, e NEM (através de) conjecturas.​
▬▬▬▬▬▬▬▬▬$\red{@\underline{\mathbb{ZIBIA}}}$​

Answer 1

Olá David!

Solucionando a questão por meio do raciocínio combinatório, devemos, inicialmente, encontrar uma maneira de escrever  como produto de fatores consecutivos. Dito isto, fazemos:

$\\ \displaystyle \mathsf{k^2 = k^2 + 0} \\\\ \mathsf{k^2 = k^2 + \left ( k - k \right )} \\\\ \mathsf{k^2 = \left ( k^2 + k \right ) - k} \\\\ \mathsf{k^2 = k \cdot \left ( k + 1 \right ) - k}$

Assim, temos que:

$\\ \displaystyle \mathsf{\sum_{k = 0}^n k^2 = \sum_{k = 0}^n k \left ( k + 1 \right ) - k} \\\\ \mathsf{\sum_{k = 0}^n k^2 = \underbrace{\mathsf{\sum_{k = 0}^n k \left ( k + 1 \right )}}_{(i)} - \underbrace{\mathsf{\sum_{k = 0}^n k}}_{(ii)}}$

Determinemos as fórmulas fechadas de (i) e (ii). Segue.

(i) Note que:

$\\ \displaystyle \mathsf{k = 1! \binom{k}{1}} \\\\ \mathsf{k \cdot \left ( k + 1 \right ) = 2! \binom{k + 1}{2}} \\\\ \mathsf{k \cdot \left ( k + 1 \right ) \cdot \left ( k + 2 \right ) = 3! \binom{k + 2}{3}} \\\\ \mathsf{k \cdot \left ( k + 1 \right ) \cdot \left ( k + 2 \right ) \cdot \left ( k + 3 \right ) = 4! \binom{k + 3}{4}} \\\\ \vdots$

Obs1.: os fatores são consecutivos, $\displaystyle \mathtt{\forall k \in \mathbb{N}}$;

Obs2.: o numerador do binômio corresponde ao maior fator;

Obs3.: o denominador do binômio equivale à quantidade de fatores.

Com efeito, isto implica que:

$\\ \displaystyle \mathsf{\sum_{k = 0}^{n} k(k + 1) = 0 + \sum_{k = 1}^n k(k + 1)} \\\\\\ \mathsf{\sum_{k = 0}^{n} k(k + 1) = \sum_{k = 1}^n 2! \binom{k + 1}{2}} \\\\\\ \mathsf{\sum_{k = 0}^{n} k(k + 1) = 2 \cdot \sum_{k = 1}^n \binom{k + 1}{2}} \\\\\\ \mathsf{\sum_{k = 0}^{n} k(k + 1) = 2 \cdot \left [ \binom{2}{2} + \binom{3}{2} + \binom{4}{2} + \left ( \hdots \right ) + \binom{n + 1}{2} \right ]}$

David, esse fator que está a multiplicar o dois é uma fileira perpendicular (coluna) do triângulo aritmético (denominado Triângulo de Pascal pela maioria dos autores de livros didáticos no Brasil). A título de curiosidade, trata-se da terceira consequência apresentada por Blaise Pascal em seu Tratado sobre o triângulo aritmético.

Como podes perceber na figura abaixo, quando o triângulo aritmético está na forma assimétrica, estamos diante da terceira coluna. Aplicando a terceira consequência de Pascal (ou Teorema das colunas), tiramos que:

$\\ \displaystyle \mathsf{\sum_{k = 1}^{n} k(k + 1) = 2 \cdot \left [ \binom{2}{2} + \binom{3}{2} + \binom{4}{2} + \left ( \hdots \right ) + \binom{n + 1}{2} \right ]} \\\\\\ \mathsf{\sum_{k = 1}^{n} k(k + 1) = 2 \cdot \binom{(n + 1) + 1}{2 + 1}} \\\\\\ \mathsf{\sum_{k = 1}^{n} k(k + 1) = 2 \cdot \binom{n + 2}{3}} \\\\\\ \mathsf{\sum_{k = 1}^{n} k(k + 1) = 2 \cdot \frac{(n + 2)!}{3!(n + 2 - 3)!}} \\\\\\ \mathsf{\sum_{k = 1}^{n} k(k + 1) = 2 \cdot \frac{(n + 2)(n + 1)n(n - 1)!}{3 \cdot 2 (n - 1)!}}$

$\\ \displaystyle \boxed{\mathsf{\sum_{k = 1}^n k(k + 1) = \frac{(n + 2)(n + 1)n}{3}}}$

Quanto a (ii), teremos:  

$\\ \displaystyle \mathsf{\sum_{k = 0}^{n} k = 0 + \sum_{k = 1}^n k} \\\\\\ \mathsf{\sum_{k = 0}^{n} k = \sum_{k = 1}^n 1! \binom{k}{1}} \\\\\\ \mathsf{\sum_{k = 0}^{n} k = 1 \cdot \sum_{k = 1}^n \binom{k}{1}} \\\\\\ \mathsf{\sum_{k = 0}^{n} k = \left [ \binom{1}{1} + \binom{2}{1} + \binom{3}{1} + \left ( \hdots \right ) + \binom{n}{1} \right ]}$

Aplicando o Teorema das colunas,

$\\ \displaystyle \mathsf{\sum_{k = 1}^{n} k = \binom{1}{1} + \binom{2}{1} + \binom{3}{1} + \left ( \hdots \right ) + \binom{n}{1}} \\\\\\ \mathsf{\sum_{k = 1}^{n} k = \binom{n + 1}{2}} \\\\\\ \mathsf{\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{(n + 1)!}{2!(n + 1 - 2)!}} \\\\\\ \mathsf{\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{(n + 1)n(n - 1)!}{2(n - 1)!}} \\\\\\ \boxed{\mathsf{\sum_{k = 1}^n k = \frac{n(n + 1)}{2}}}$

Por fim,

$\\ \displaystyle \mathsf{\sum_{k = 0}^n k^2 = \sum_{k = 0}^n k(k + 1) - \sum_{k = 0}^n k} \\\\\\ \mathsf{\sum_{k = 0}^n k^2 = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3} - \frac{n(n + 1)}{2}} \\\\\\ \mathsf{\sum_{k = 0}^n k^2 = n(n + 1) \cdot \left [ \frac{(n + 2)}{3} - \frac{1}{2} \right ]} \\\\\\ \mathsf{\sum_{k = 0}^n k^2 = n(n + 1) \cdot \left ( \frac{2n + 4 - 3}{6} \right )} \\\\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{\sum_{k = 0}^n k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}}}}$

A saber, com exceção dos números que representam o gerador do triângulo aritmético, neste caso o número 1, todos os demais números podem ser obtidos com a soma dos elementos compreendidos entre a linha que o antecede e a coluna precedente. Em símbolos,

$\\ \displaystyle \bullet \quad \texttt{ TEOREMA DAS COLUNAS} \\\\\\ \boxed{\mathtt{\ \binom{p}{p} + \binom{p + 1}{p} + \binom{p + 2}{p} + \binom{p + 3}{p} + \hdots + \binom{p + q}{p} = \binom{p + q + 1}{p + 1}}} \\\\ \mathtt{\forall \, p, q \in \mathbb{N}; p \geq q}$

Answer 2

Sejam

$S(0) = 1^0 + 2^0 + \cdots + n^0$

$S(1) = 1 + 2+ ... + n$

$S(2) = 1^2 + 2^2 + ... + n^2$

...

$S(N) = 1^N + 2^N + ... + n^N$

O procedimento que vou fazer permite calcular S(N+1) conhecendo S(0), S(1), S(2), ..., S(N), Farei apenas para S(2), mas é análogo. No caso sabemos que

$S(0) = n$

$S(1) = \dfrac{n(n+1)}{2}$

Considere a seguinte identidade:

(k+1)³  = k³ + 3k² + 3k + 1

Tomando o somatório de 1 a n obtemos

$\displaystyle \sum_{k=1}^n (k+1)^3 = \sum_{k=1}^n k^3 + \sum_{k=1}^n 3k^2 + \sum_{k=1}^n 3k + \sum_{k=1}^n 1$

Reorganizando temos:

$\displaystyle \sum_{k=1}^n [(k+1)^3 - k^3] = 3 S(2) + 3S(1) + S(0)$

Mas o somatório da esquerda e telescópico. Ou seja,

$\displaystyle \sum_{k=1}^n [(k+1)^3 - k^3] = (n+1)^3 - 1$

Com isso obtemos:

$S(2) = \dfrac{(n+1)^3 - 1 - 3S(1) - S(0)}{3}$

Substituindo os valores de S(0) e S(1) e fazendo as simplificações necessárias chegamos na fórmula

$S(2) = \displaystyle \sum_{k = 1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Também é possível dar uma prova visual. Existem alguns videos e muitas imagens sobre isso no Google. Anexei uma que encontrei lá.