Question

Usando a regra de L'Hospital, calcule o$\lim_{x \to 0+ }(x.ln (x))$ a)0 b)3 c) +∞ d) não existe e) -∞

Answer 1

Para usar a regra de L'Hôpital, "deve-se" ter indeterminações do seguinte tipo:

$\sf \lim_{x\rightarrow a {}^{ } } \frac{f(x)}{g(x)} = 0 \: \:ou \: \: \lim_{x\rightarrow a {}^{ } } \frac{f(x)}{g(x)} = \pm\infty$

• A questão nos fornece o seguinte limite: $\:\: \sf \lim_{x\rightarrow 0 {}^{ + } }\sf x. ln(x)$

Se formos substituir o valor a qual o "x" tende, vamos nos deparar com uma indeterminação, vejamos qual será a tal:

$\sf 0. ln(0)$

O logaritmo natural, pode ser visto como:

$\sf ln(x) = log_{e}(x )$

Certamente esse logaritmo terá um valor, digamos que o mesmo seja um certo y, então:

$\sf log_{e}(0) = y$

Aplicando a definição de logaritmo, que diz que:

• A base elevada ao logaritmo é igual ao logaritmando, teremos:

$\sf e {}^{y} = 0$

O valor que se encaixaria como a potência de "e", seria o infinito negativo, pois:

$\sf e {}^{ - \infty } = 0 \Longleftrightarrow \sf\frac{1}{e {}^{ \infty } } = 0 \Longleftrightarrow \sf \frac{1}{ \infty } = 0$

Portanto o valor de Ln de 0 seria igual ao infinito negativo, substituindo esse "valor" na expressão da substituição do valor a qual o "x" tende:

$\sf 0.( - \infty )$

"0" vezes o infinito é uma indeterminação, pois não se sabe se o valor será de fato "0". Se você observar, essa indeterminação não está nos moldes das indeterminações para aplicação de L'Hôpital, então vamos fazer uma pequena manipulação.

$\sf \lim_{x\rightarrow 0 {}^{ + } }\sf x. ln(x) \Longleftrightarrow \sf \lim_{x\rightarrow 0 {}^{ + } } \frac{ ln(x) }{ \frac{1}{x} }$

Agora sim podemos aplicar a regra que diz que devemos derivar o a função do numerador e a função do denominador.

• Derivando:

$\sf \frac{d}{dx} ln(x) = \frac{1}{x} \\ \\ \sf \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x} \right) = \frac{d}{dx}( x {}^{ - 1} ) = - 1.x {}^{ - 1 - 1} = - x {}^{ - 2} = \boxed{ \sf- \frac{1}{x {}^{2} } }$

Substituindo as derivações nos seus devidos locais:

$\sf \lim_{x\rightarrow 0 {}^{ +} } \frac{ \frac{1}{x} }{ - \frac{1}{x {}^{2} } } \Longleftrightarrow \sf \lim_{x\rightarrow 0 {}^{ + } } \frac{1}{x} .( - x {}^{2} ) \Longleftrightarrow \sf \lim_{x\rightarrow 0 {}^{ + }} \frac{ - x {}^{2} }{x} \Longleftrightarrow \boxed{\sf \lim_{x\rightarrow 0 {}^{ + }} - x}$

Por fim, deve-se fazer a substituição do valor a qual o "x" tende:

$\sf \lim_{x\rightarrow 0 {}^{ + }} - 0 = \boxed{ \sf0}$

Espero ter ajudado

• Reposta: item a)