Question

(Fuvest) o segmento AB é diâmetro da circunferência de equação x²+y²=10y. Se A é o ponto (3,1), então B é o ponto:

Como eu posso resolver sem ter o raio?

Answer 1

E equação da circunferência está incompleta, ou seja, há pontos que ainda precisam ser descobertos para deixar na cara
(x-a)² + (y-b)² = r² em que o centro da circunferência está em C(a, b)

Como temos x² + y² = 10y observa-se que na igualdade da direita não temos um termo com a cara r², portanto vamos deixa-la em uma equação do circulo
x² + y² - 10y = 0

Sabemos que y² - 10y é um quadrado perfeito incompleto, em que (y - algo)² = y² + 2.algo.y + algo²
Sabemos tambem, que 2.algo.y é 10y, então:
2.W.y = 10y, então W = 5

Portanto, completa-se adicionando o que faltava, lembrando de que é uma igualdade, devendo ser adicionado em ambos os lados
x² + y² + 2.5.y + 5² = 5²
x² + y² + 10y + 25 = 25
x² + (y-5)² = 25

Aqui, podemos tirar informações a partir de
a = 0
b = 5
r² = 25, r = 5
Então C(x, y) é igual a C(0, 5)
(Comentário: Sua dúvida era em relação a fazer sem utilizar o raio, porém podemos fazer de outro modo, utilizando o ponto médio entre dois pontos.
Mas se você optar por fazer utilizando o raio, você pode achar a distância entre AC e depois igualar essa distância achada em CB, mas farei aqui com o ponto médio)

Outra informação importante é saber o cálculo do ponto médio entre dois pontos, que é feito em duas partes; o ponto médio de X e o ponto médio de Y
Como o dado no enunciado diz que o eixo AB é o diâmetro da circunferência, temos que o ponto médio ente AC é o ponto C achado
Ponto médio X  enter dois pontos 
$Pmx = ( \frac{x1+x2}{2}) \\ \\ Pmy = ( \frac{y1+y2}{2}) \\ \\ Pm = ( \frac{x1+x2}{2}) , \frac{y1+y2}{2} )$

Como já sabemos as distâncias, que é C, podemos escrever o ponto B(Bx, By) como:
Pmx = (Ax + Bx)/2
0 = (3+Bx)/2
0 = 3 + Bx
Bx = -3

Achamos o ponto B(-3, By). Agora a mesma coisa para By
Pmy = (Ay + By)/2
5 = (1 + By)/2
10 = 1 + By
By = 9

Achado ponto B(Bx, By)

Resposta B(-3, 9)

Ik_Lob

Answer 2

Resposta:

x² + y²= 10y

completando os quadrados temos:

x² + y² - 10y + 25 = 25 ======> (x+0)² + (y-5)² = 5² ====> centro (0,5) e raio = 5

Vamos encontrar a equação da reta que passe por AC.

m = (5-1) / (0-3) ===> m = -4/3

y - 5 = (-4/3)(x - 0) ===> 3y-15= -4x ===> 4x + 3y = 15

x = (15 - 3y)/4 (substitui na equação da circunferência e encontramos os dois pontos onde essa reta encontra a circunferência. Um deles, (3,1), é o ponto ; e o outro, (-3,9), é o ponto B.

Acho que é isso!