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Resposta:
A ideia para resolver equações biquadradas é usar a substituição x²=t e transformá-la numa equação do segundo grau.
No seu problema começamos com x⁴ - x² = 12. Usando a substituição que falamos acima teremos
x⁴ - x² = 12
(x²)² - x² - 12 = 0
t² - t - 12 = 0 ( I )
Agora podemos resolver usando a fórmula de Bháskara:
\begin{gathered}t = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta} }{2a} \\[2ex] \Delta = b^2 - 2ac\end{gathered}
t=
2a
−b±
Δ
Δ=b
2
−2ac
Na equação ( I ) os coeficientes são a = 1, b = -1 e c = -12. Logo o discriminante (o delta) será
Δ = b² - 4ac = (-1)² - 4*1*(-12) = 1+ 48 = 49
Assim, as raízes são
\begin{gathered}\begin{cases} t_1 = \dfrac{-(-1) + \sqrt{49}}{2} \\[2ex]t_2 = \dfrac{-(-1) - \sqrt{49}}{2} \end{cases} \implies\begin{cases} t_1 = 4 \\[1ex] t_2 = -3\end{cases}\end{gathered}
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎧
t
1
=
2
−(−1)+
49
t
2
=
2
−(−1)−
49
⟹{
t
1
=4
t
2
=−3
Agora que temos o valor de t, basta usar novamente a substituição x²= t para concluir o problema. Ou seja:
1º caso: usando a raiz t₁ = 4
Se t = 4 temos x² = 4. Logo x = 2 ou x = -2
2° caso: usando a raiz t₂ = -3
Se t = -3 então x² = -3. Assim nesse caso não temos raízes reais.
Resposta:
As raízes reais da equação biquadrada x⁴-x²=12 são -2 e +2.
espero ter ajudado!