Question

Ache a distância da reta r: x=-3+t e y=2t ( t pertence a R) a origem.

Answer 1

Dada uma reta de equação geral $ax + by + c = 0$ e um ponto de coordenadas $(x_0, y_0)$, a distância entre essa reta e esse ponto é dada por:

$d = \dfrac{\left|ax_0 + bx_0 + c\right|}{\sqrt{a^2 + b^2}}.$

Neste caso, o ponto em causa é a origem. Assim, $(x_0, y_0) = (0,0)$, donde obtemos:

$d = \dfrac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$

Além disso, neste caso, a reta $r$ é dada pelo sistema:

$\begin{cases} x=-3+t \\ \\ y = 2t\end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}.$

Resolvendo a primeira equação para $t$, obtemos:

$x=-3+t \iff t = x+3.$

Substituindo na segunda equação, obtemos a equação geral da reta:

$y = 2t = 2(x+3) = 2x + 6 \iff 2x - y + 6 = 0.$

Comparando com a forma acima, temos:

$a = 2\\b=-1\\c=6$

Portanto, a distância é:

$d = \dfrac{|6|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \dfrac{6}{\sqrt{4+1}} = \dfrac{6}{\sqrt{5}} = \dfrac{6}{\sqrt{5}}\times\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}. = \dfrac{6\sqrt{5}}{\left(\sqrt{5}\right)^2} = \dfrac{6\sqrt{5}}{5}.$