Question

pfvr me ajudem!! Qual é a derivada de x²-1/x+2 ?​

Answer 1

Temos uma expressão, digamos que a mesma seja uma função "g", então:

$\sf g(x) = \frac{x {}^{2} - 1}{x + 2}$

A questão nos pede para derivar essa tal função, observe que há uma divisão, sendo que essa tal divisão pode ser interpretada como uma função racional, ou seja, a divisão de funções, logo para derivar devemos usar a regra do quociente, que é dada por:

$\sf \frac{d}{dx}[g (x) ] = \frac{ \frac{d}{dx}[h(x) ] .k(x) - h(x). \frac{d}{dx}[k(x) ] }{[k(x) {}^{2} ] }$

Digamos que a função h(x) e k(x) sejam respectivamente: $h(x)=x^{2}-1 \:\: e \:\:k(x)=x+2$, substituindo cada uma dessas funções no seu respectivo local na regra:

$\sf \frac{d}{dx}[g (x) ] = \frac{ \frac{d}{dx}[x {}^{2} - 1 ] .(x + 2) - (x {}^{2} - 1). \frac{d}{dx}[x + 2 ] }{(x + 2){}^{2} } \\ \\ \sf \frac{d}{dx}[g (x) ] = \frac{2x.(x + 2) - (x {}^{2} - 1).1 }{(x + 2) {}^{2} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \sf \frac{d}{dx}[g (x) ] = \frac{2x {}^{2} + 4x -x {}^{2} + 1}{(x + 2) {}^{2} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \boxed{ \sf\frac{d}{dx}[g (x) ] = \frac{x {}^{2} + 4x + 1}{(x + 2) {}^{2} } } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

$\sf f(x)=\dfrac{x^2-1}{x+2}$

$\sf f'(x)=\dfrac{(x^2-1)'\cdot(x+2)-(x+2)'\cdot(x^2-1)}{(x+2)^2}$

$\sf f'(x)=\dfrac{2x\cdot(x+2)-1\cdot(x^2-1)}{(x+2)^2}$

$\sf f'(x)=\dfrac{2x^2+4x-x^2+1}{(x+2)^2}$

$\sf f'(x)=\red{\dfrac{x^2+4x+1}{(x+2)^2}}$