• Matéria: Matemática
  • Autor: herbertt32
  • Perguntado 6 anos atrás

∫(3e^-x – 2/cos² x – 1/sin² x) dx


SubGui: são três frações diferentes?

Respostas

respondido por: Nefertitii
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Temos a seguinte integral indefinida:

 \sf \int  \right(3e {}^{ - x}  -  \frac{2}{cos {}^{2} x}  -  \frac{1}{sen {}^{2} x}  \left)dx \\

Devemos lembrar que a integral da soma/subtração de várias funções é igual a integral de cada uma das funções envolvidas, isso pode ser observado na seguinte propriedade:

 \boxed{ \sf  \int  [f(x)  \pm g(x)]dx =  \int f(x)dx \pm \int g(x)dx} \\

Aplicando essa propriedade:

 \sf \int  \right(3e {}^{ - x}  -  \frac{2}{cos {}^{2} x}  -  \frac{1}{sen {}^{2} x}  \left)dx \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \\  \\  \sf \int 3e {}^{ - x} dx -  \int  \frac{2}{cos {}^{2}x }dx  -  \int \frac{1}{sen {}^{2} x} dx \\

Devemos lembrar que quando temos um valor constante dentre da integral, podemos removê-lo, já que uma constante pode transitar livremente para dentro e fora de uma integral:

 \boxed{ \sf \int k.f(x)dx =  k\int f(x)dx }

Aplicando:

 \sf 3 \int e {}^{ - x} dx - 2 \int  \frac{1}{cos {}^{2} x} dx -  \int  \frac{1}{sen {}^{2} x} dx \\

Note que ali nas integrais com funções trigonométricas, podemos fazer algumas substituições, já que:

 \boxed{ \sf sec {}^{2} x =  \frac{1}{cos {}^{2} x}  \:  \:  \: e \:  \:  \:  cossec {}^{2} x =  \frac{1}{sen {}^{2}x }}

Substituindo cada uma das expressões pela sua respectiva:

 \sf 3 \int e {}^{ - x} dx - 2 \int sec {}^{2} x \: dx -  \int cossec {}^{2} x \: dx \\

Primeiro vamos resolver aquelas integrais trigonométricas, já que os seus "valores" são conhecidos.

 \sf \int sec {}^{2}x \: dx = tan \: x +  \:C\\

  • Essa integral possui esse "valor", pois como sabemos a integral é o inverso da derivada, e a derivada da função tangente é igual a função secante ao quadrado, então a tangente é a integral da função secante ao quadrado.

 \sf \int cossec {}^{2} x \: dx =  - cotg \:x  + C \\

  • A integração dessa função segue o mesmo principal da integral anterior.

Substituindo esses resultados obtidos:

 \sf3 \sf \int e {}^{ - x} dx - 2(tan \: x +  C) - ( - cotg \: x + C) \\  \\  \sf 3 \int e {}^{ - x} dx - 2tan \: x - C + cotg \: x - C \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \\  \\  \sf 3\int e {}^{ - x}  \: dx - 2tan \: x + cotg \: x + C \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:

A integral que possui o número de euler requer mais atenção na hora de integrar, pois devemos usar o método da substituição. Partindo dessa ideia, podemos dizer que:  u = -x , derivando essa função:

 \sf  \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (  - x)  \longleftrightarrow  \frac{du}{dx}  =  - 1 \longleftrightarrow du =  - dx \longleftrightarrow   \boxed{\sf dx =  - du} \\

Substituindo essa expressões relacionadas a "u":

 \sf  3 \int e {}^{ - x} dx \longleftrightarrow 3 \int e {}^{u} ( - du) \\

Aplicando:

 \sf  - 3 \int e {}^{u} du  \longleftrightarrow  - 3 e {}^{u}  + C \\

Repondo a expressão que representa "u":

\sf  - 3e {}^{u}  + C \longleftrightarrow - 3e {}^{ - x} +C

Portanto, podemos concluir que:

  \sf 3\int e {}^{ - x}  \: dx - 2tan \: x + cotg \: x + C \\  \\   \boxed{\sf  - 3e {}^{ - x}  - 2tan \: x + cotg \: x + C }\:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:

Espero ter ajudado

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