Question

∫(3e^-x – 2/cos² x – 1/sin² x) dx

Answer 1

Temos a seguinte integral indefinida:

$\sf \int \right(3e {}^{ - x} - \frac{2}{cos {}^{2} x} - \frac{1}{sen {}^{2} x} \left)dx$

Devemos lembrar que a integral da soma/subtração de várias funções é igual a integral de cada uma das funções envolvidas, isso pode ser observado na seguinte propriedade:

$\boxed{ \sf \int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx}$

Aplicando essa propriedade:

$\sf \int \right(3e {}^{ - x} - \frac{2}{cos {}^{2} x} - \frac{1}{sen {}^{2} x} \left)dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \int 3e {}^{ - x} dx - \int \frac{2}{cos {}^{2}x }dx - \int \frac{1}{sen {}^{2} x} dx$

Devemos lembrar que quando temos um valor constante dentre da integral, podemos removê-lo, já que uma constante pode transitar livremente para dentro e fora de uma integral:

$\boxed{ \sf \int k.f(x)dx = k\int f(x)dx }$

Aplicando:

$\sf 3 \int e {}^{ - x} dx - 2 \int \frac{1}{cos {}^{2} x} dx - \int \frac{1}{sen {}^{2} x} dx$

Note que ali nas integrais com funções trigonométricas, podemos fazer algumas substituições, já que:

$\boxed{ \sf sec {}^{2} x = \frac{1}{cos {}^{2} x} \: \: \: e \: \: \: cossec {}^{2} x = \frac{1}{sen {}^{2}x }}$

Substituindo cada uma das expressões pela sua respectiva:

$\sf 3 \int e {}^{ - x} dx - 2 \int sec {}^{2} x \: dx - \int cossec {}^{2} x \: dx$

Primeiro vamos resolver aquelas integrais trigonométricas, já que os seus "valores" são conhecidos.

$\sf \int sec {}^{2}x \: dx = tan \: x + \:C$

• Essa integral possui esse "valor", pois como sabemos a integral é o inverso da derivada, e a derivada da função tangente é igual a função secante ao quadrado, então a tangente é a integral da função secante ao quadrado.

$\sf \int cossec {}^{2} x \: dx = - cotg \:x + C$

• A integração dessa função segue o mesmo principal da integral anterior.

Substituindo esses resultados obtidos:

$\sf3 \sf \int e {}^{ - x} dx - 2(tan \: x + C) - ( - cotg \: x + C) \\ \\ \sf 3 \int e {}^{ - x} dx - 2tan \: x - C + cotg \: x - C \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf 3\int e {}^{ - x} \: dx - 2tan \: x + cotg \: x + C \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

A integral que possui o número de euler requer mais atenção na hora de integrar, pois devemos usar o método da substituição. Partindo dessa ideia, podemos dizer que: $u = -x$, derivando essa função:

$\sf \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} ( - x) \longleftrightarrow \frac{du}{dx} = - 1 \longleftrightarrow du = - dx \longleftrightarrow \boxed{\sf dx = - du}$

Substituindo essa expressões relacionadas a "u":

$\sf 3 \int e {}^{ - x} dx \longleftrightarrow 3 \int e {}^{u} ( - du)$

Aplicando:

$\sf - 3 \int e {}^{u} du \longleftrightarrow - 3 e {}^{u} + C$

Repondo a expressão que representa "u":

$\sf - 3e {}^{u} + C \longleftrightarrow - 3e {}^{ - x} +C$

Portanto, podemos concluir que:

$\sf 3\int e {}^{ - x} \: dx - 2tan \: x + cotg \: x + C \\ \\ \boxed{\sf - 3e {}^{ - x} - 2tan \: x + cotg \: x + C }\: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado