Question

Alguem pode responder?

Answer 1

Resposta:

Vide explicação.

Explicação passo-a-passo:

Vamos partir sempre da mesma definição de reta tangente:

$t:f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

Essa é a definição de reta tangente, então vamos sempre precisar calcular as derivadas, eu vou partir do pré suposto que você calcular todas essas derivadas, então só mostrarei o resultado delas, caso tenha dúvida em alguma escreva que eu explico.

2)

$f(x) = \frac{e^x}{1+x^2} \\\\f'(x) = \frac{e^x(x-1)^2}{{(1+x^2)}^2}$

Queremos a reta tangente quando x = 1, então:

$f(1) = \frac{e^1}{1+1^2} = \frac{e}{2} \\\\f'(1) = \frac{e^1(1-1)^2}{{(1+1^2)}^2} = 0$

Então a reta tangente é:

$t:\frac{e}{2} +0\cdot (x-1)\\\\t: \frac{e}{2}$

Ou seja, a reta tangente nesse ponto é uma reta horizontal com algura e/2, você pode verificar isso plotando esse gráfico em qualquer programa como o Desmos ou Geogebra.

3)

$f(x) = \frac{x-1}{x+1} \\\\f'(x) = \frac{2}{{(x+1)}^2}$

Queremos as retas paralelas a reta:

$g(x) = \frac{x}{2}-1$

Vamos construir a reta tangente de uma forma generica, sabemos que o f'(x_0) é o coeficiente angular da reta, para as retas serem paralelas temos que ter o mesmo coeficiente angular, ou seja:

$f'(x_0) = \frac{1}{2}$

Então vamos resolver a seguinte equação para achar para quais pontos ela é paralela:

$f'(x) = \frac{2}{{(x+1)}^2} = \frac{1}{2} \\\\\frac{2}{{(x+1)}^2} = \frac{1}{2} \\\\(x+1)^2=4\\\\x^2+2x+1 = 4\\\\x^2+2x-3 = 0 \\\\S=\{-3,\, 1\}$

Então temos duas retas tangentes paralelas, uma em x = 1 e outra em x = -3, elas são:

$t_1:f(-3)+f'(-3)(x+3)\\\\t_2:f(1)+f'(1)(x-1)$

Fazendo isso de forma mais explicita temos:

$t_1:\frac{-3-1}{-3+1}+\frac{2}{{(-3+1)}^2}(x+3)\\\\t_1:\frac{-4}{-2} +\frac{2}{(-2)^2} (x+3)\\\\t_1:2+\frac{x+3}{2} \\\\\\t_2:\frac{1-1}{1+1}+\frac{2}{{(1+1)}^2}(x-1)\\\\t_2:0+\frac{2}{{(2)}^2}(x-1)\\\\t_2:\frac{x-1}{2}$

Essa são nossas retas tangentes.

4)

Para que se tenha uma reta horizontal, temos que ter a primeira derivada igual a 0 em algum ponto, é isso que iremos procurar.

$f(x) = e^x\cos x\\f'(x) = e^x\cos x-e^x\sin x$

Então queremos achar quais são as raízes da derivada:

$e^x\cos x-e^x\sin x = 0\\\\e^x(\cos x - \sin x) = 0$

Sabemos que a função $e^x$ nunca será 0, então temos que:

$\cos x - \sin x = 0\\\\\cos x = \sin x\\\\\cos^2x = \sin^2 x$

Pela identidade fundamental temos:

$\cos^2 = 1 - \sin^2 x$

Então fica:

$1 - \sin^2 x = \sin^2 x \\\\1 = \sin^2 x + \sin^2 x \\\\2\sin^2x = 1\\\\\sin^2x = \frac{1}{2} \\\\\sqrt{\sin^2x} = \sqrt{\frac{1}{2}} \\\\\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}\\\\\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Note que esse seno é um ângulo notável, dentro do intervalo de $[0; \frac{\pi}{2}]$ isso só acontece em um momento, que é quando o ângulo é $45^\circ \text{ ou } \frac{\pi}{2}$, isso em si já é o arco, pois:

$\arcsin\frac{\sqrt{2} }{2} = \frac{\pi}{4}$

Essa é nossa resposta.

Você pode verificar todos esses resultados no Desmos ou Geogebra, como preferir, particularmente prefiro o Desmos pois aceita a notação na hora de colocar as derivadas.

QUALQUER DÚVIDA escreva nos comentários.