Question

(UNESP) Em uma pequena cidade, um matemático modelou a quantidade de lixo doméstico total (orgânico e reciclável) produzida pela população, mês a mês, durante um ano, por meio da função \sf f(x) = 200 + (x+50)\cdot cos\left(\frac{\pi}{3}x-\frac{4\pi}{3} \right ), em que f(x) indica a quantidade de lixo, em toneladas, produzida na cidade no mês x, com 1 ≤ x ≤ 12, x inteiro positivo. Sabendo que f(x), nesse período, atinge seu valor máximo em um dos valores de x, no qual a função \sf cos\left(\frac{\pi}{3}x-\frac{4\pi}{3} \right ) atinge seu máximo, qual foi o mês x para o qual a produção de lixo foi máxima e quantas toneladas de lixo foram produzidas pela população nesse mês?

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Olá !

Se f(x) = 200 + (x + 50) . cos . x – e sabendo

que seu valor máximo ocorre quando

cos . x – = 1, temos:

. x – = 0 + n . 2π (n ∈ ) ⇔

⇔ x = 4 + n . 6 (n ∈ )

Como 1 ≤ x ≤ 12, resulta x = 4 ou x = 10, portanto,

f(4) = 200 + (4 + 50) . 1 = 254 e

f(10) = 200 + (10 + 50) . 1 = 260.

Os valores obtidos de f(4) e f(10) permitem concluir

que a produção de lixo foi máxima no mês x = 10 e

que a quantidade de lixo produzida nesse mês foi

igual a 260 toneladas.

Resposta: x = 10; 260 toneladas

Answer 2

Analisando a função trigonométrica do cosseno que modela a quantidade de lixo produzida em função do tempo temos que a produção de lixo atingiu seu máximo de 260 toneladas no 10° mês.

Função Trigonométrica - Cosseno

Para resolver esta questão vamos aplicar a função trigonométrica do cosseno e como esse tipo de função fica limitada no intervalo entre - 1 ≤ cos θ ≤ 1, pois a circunferência trigonométrica possui raio unitário.

Dada a função

$f(x)=200+(x+50)\cdot \cos \left(\dfrac{\pi}{3}x-\dfrac{4\pi}{3}\right)$

E como a função cosseno atinge o ponto máximo quando cos θ = 1 devemos ter:

$\cos \left(\dfrac{\pi}{3}x-\dfrac{4\pi}{3}\right)=1\\\\\dfrac{\pi}{3}x-\dfrac{4\pi}{3}=2k\pi\\\\\dfrac{\pi}{3}x=\dfrac{6k\pi+4\pi}{3}\\\\x=6k+4$

• Para k = 0 teremos x = 4 e substituindo na função obtemos:

$f(x)=200+(x+50)\cdot \cos \left(\dfrac{\pi}{3}x-\dfrac{4\pi}{3}\right)\\\\f(4)=200+(4+50)\cdot 1=254 \ T$

• Para k = 1 teremos x = 10 e substituindo na função obtemos:

$f(x)=200+(x+50)\cdot \cos \left(\dfrac{\pi}{3}x-\dfrac{4\pi}{3}\right)\\\\f(10)=200+(10+50)\cdot 1=260 \ T$

Observe que dentro do intervalo 1 ≤ x ≤ 12, no 4° mês também ocorre um valor de máximo, porém este é um máximo relativo, o máximo absoluto ocorre apenas no 10° mês.

Para saber mais sobre Funções Trigonométricas acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/20558058

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