Question

grato por quem conseguir resolver...

Determine a área total de uma pirâmide triangular regular cujo apótema mede 10 cm e o apótema da base mede 3cm​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{117\sqrt{3}~cm^2}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre poliedros e áreas de figuras planas.

A área total de uma pirâmide triangular regular é calculada a partir da soma da área de todas as suas faces.

A diferença principal que devemos relembrar é: a pirâmide triangular apresenta como base um triângulo equilátero e o restante de suas faces são triângulos isósceles. O tetraedro regular apresenta todas as faces como triângulos equiláteros.

O apótema da base da pirâmide é calculada a partir da inscrição deste triângulo em uma circunferência. Ele é a medida do centro da circunferência até o ponto médio de um dos lados do triângulo. Veja a imagem em anexo.

Seja $A_b$ a medida do apótema da base e $a$ a medida da aresta da base, ou seja, lado do triângulo equilátero. O ângulo formado entre o apótema e o segmento que une o centro até o vértice deste triângulo é de $60\°$, então aplicamos a relação trigonométrica:

$\tan(60\°)=\dfrac{\left(\dfrac{a}{2}\right)}{A_b}$

Sabendo que $\tan(60\°)=\sqrt{3}$, calculamos a fração de frações

$\sqrt{3}=\dfrac{a}{2A_b}$

Isolamos $a$, multiplicando ambos os lados da equação por $2A_b$

$a=2A_b\sqrt{3}$

Nos foi dado que a medida do apótema da base é igual a $3~\bold{cm}$, logo a aresta da base mede:

$a=2\cdot3\sqrt{3}\\\\\\ a = 6\sqrt{3}~\bold{cm}$

Agora, lembre-se que as faces laterais são triângulos isósceles, cujas medidas das bases são iguais às arestas da base, porém os dois outros lados são diferentes.

O apótema da pirâmide $A_p$ é a altura das faces laterais, logo, de acordo com o dado no enunciado, teremos $A_p=10~\bold{cm}$.

Então, basta calcularmos a área total a partir da fórmula para a área de triângulos:

Dado um triângulo de base $b$ e altura $h$, sua área é dada por $S=\dfrac{b\cdot h}{2}$.

Porém, em um triângulo equilátero de lado $\ell$, sua altura é dada por $\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}$ e fórmula se torna: $S_{\triangle}=\dfrac{\ell^2\sqrt{3}}{4}$.

Assim, a área total será dada pela soma:

$A_{total}=3\cdot A_{lateral}+A_{base}$

Como visto anteriormente, aplique os valores cedidos pelo enunciado nas fórmulas:

$A_{total}=3\cdot \dfrac{6\sqrt{3}\cdot 10}{2}+\dfrac{(6\sqrt{3})^2\cdot\sqrt{3}}{4}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$A_{total}=3\cdot \dfrac{6\sqrt{3}\cdot 10}{2}+\dfrac{36\cdot 3\cdot\sqrt{3}}{4}\\\\\\\\ A_{total}= \dfrac{180\sqrt{3}}{2}+\dfrac{108\sqrt{3}}{4}$

Simplifique e some as frações

$A_{total}=90\sqrt{3}+27\sqrt{3}\\\\\\ A_{total}=117\sqrt{3}~\bold{cm^2}$

Esta é a área total desta pirâmide.