Question

Encontre as raízes da equação : ( está em forma de determinante)

 

1º linha : x ____   0 ___  -1/2
2º linha  :1____    x____    x
3º linha: 10_____4 ____  x 

o determinante é igual a zero 

Answer 1

Jennifer,

 

$<var>\begin{vmatrix} x & 0 & -\frac12\\ 1 & x & x\\ 10 & 4 & x\\ \end{vmatrix}=0\\\\\\ \text{Pela Regra de Sarrus}:\\\\ \begin{vmatrix} x & 0 & -\frac12\\ 1 & x & x\\ 10 & 4 & x\\ \end{vmatrix}\begin{vmatrix} x & 0 \\ 1 & x \\ 10 & 4 \\ \end{vmatrix}=x^3+0-2+5x-4x^2-0=0 \Rightarrow\\\\\\ x^3-4x^2+5x-2=0</var>$

 

Aplicando-se, agora o Teorema das Raízes Racionais, temos que:

 

Se  $\frac{p}{q}$  é raiz da equação polinomial $a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0,$  então:

$p$  é divisor de  $a_0$  e  $q$  é divisor de  $a_n$

 

No caso, para que  $<var>x^3-4x^2+5x-2=0</var>$  possua raízes racionais do tipo  $\frac{p}{q},$  devemos ter:

 

(1)  $p$   divisor de 2, ou seja: $<var>p=\pm2,\pm1</var>$

 

(2)  $q$   divisor de 1, ou seja: $q<var>=\pm1</var>$

 

Testando-se os valores possíveis de  $\frac{p}{q}$, verificamos que  $<var>x=1</var>$  e  $<var>x=2</var>$

são soluções desta equação.

 

Vamos agora procurar pela terceira raiz:

 

$<var>(x-1)(x-2)(x-a)=0 \Rightarrow (x^2-2x-x+2)(x-a)=0 \Rightarrow \\\\ (x^2-3x+2)(x-a)=0 \Rightarrow x^3 - ax^2 - 3x^2 +3ax + 2x - 2a = 0\\\\ \Rightarrow x^3 - (a+3) x^2 + (3a + 2) x - 2a = 0 \Rightarrow \begin{cases}-(a+3)=-4\\3a+2=5\\-2a=-2 \end{cases} \Rightarrow \\\\\boxed{a=1}</var>$

 

Encontramos, novamente, o 1 como raiz. Portanto, x=1 é uma raiz de multiplicidade 2.